形如1+1/2+1/3+…+1/n+…的级数称为调和级数(还可以推广到等差数列的倒数之和)；
Euler(欧拉)在1734年,利用Newton在一书中写到的结果：ln(1+x) = x - x2/2 + x3/3 -...
得到：
ln(1+1/x) = 1/x - 1/2x^2 + 1/3x^3 - ...
于是：
1/x = ln((x+1)/x) + 1/2x^2 - 1/3x^3 + ...
代入x=1,2,...,n,就给出：
1/1 = ln(2) + 1/2 - 1/3 + 1/4 -1/5 + ...
1/2 = ln(3/2) + 1/2*4 - 1/3*8 + 1/4*16 - ...
.
1/n = ln((n+1)/n) + 1/2n^2 - 1/3n^3 + ...
相加,就得到：
1+1/2+1/3+1/4+...1/n = ln(n+1) + {1/2*(1+1/4+1/9+...+1/n^2) - 1/3*(1+1/8+1/27+...+1/n^3) + ...}
= ln(n+1)+γ(n)
当n趋于无穷大时,γ(n)收敛为常数,记成γ.
所以数列an=1/n的前n项和为 ln(n+1)+γ(n)
Euler(欧拉)在1734年,利用Newton在一书中写到的结果：ln(1+x) = x - x2/2 + x3/3 -...
得到：
ln(1+1/x) = 1/x - 1/2x^2 + 1/3x^3 - ...
于是：
1/x = ln((x+1)/x) + 1/2x^2 - 1/3x^3 + ...
代入x=1,2,...,n,就给出：
1/1 = ln(2) + 1/2 - 1/3 + 1/4 -1/5 + ...
1/2 = ln(3/2) + 1/2*4 - 1/3*8 + 1/4*16 - ...
.
1/n = ln((n+1)/n) + 1/2n^2 - 1/3n^3 + ...
相加,就得到：
1+1/2+1/3+1/4+...1/n = ln(n+1) + {1/2*(1+1/4+1/9+...+1/n^2) - 1/3*(1+1/8+1/27+...+1/n^3) + ...}
= ln(n+1)+γ(n)
当n趋于无穷大时,γ(n)收敛为常数,记成γ.
所以数列an=1/n的前n项和为 ln(n+1)+γ(n)
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