一道自动控制原理习题急急急

Question

4、已知单位反馈系统的开环传递函数为
G(s)=8(0.5s+1))/(s^2(0.1s+1))
试求当输入信号r (t)=4+6t+3t^2 时,系统的稳态误差。

Answer 1

答 ：
根据题意，输入信号为 r(t)=4+6t+3t^2 ，单位反馈系统的开环传递函数为 G(s)=\frac{8(0.5s+1)}{s^2(0.1s+1)} 。
首先，我们需要将输入信号 r(t) 转换成 Laplace 变换形式。根据拉普拉斯变换的定义， R(s) 的表达式为：
R(s) =\mathcal{L}{r(t)}=\mathcal{L}{4+6t+3t^2}=\frac{4}{s}+\frac{6}{s^2}+\frac{6}{s^3}
接下来，我们可以利用闭环系统的稳态误差公式求出系统的稳态误差。单位反馈系统的闭环传递函数为：
T(s) = \frac{G(s)}{1+G(s)}=\frac{8(0.5s+1)}{s^2(0.1s+1)+8(0.5s+1)}=\frac{4s+8}{s^3+1.2s^2+4s+8}
稳态误差公式为：
e_{ss}=\lim_{s\to 0}sR(s)\frac{1}{1+T(s)}
将 R(s) 和 T(s) 代入上式，得到：
e_{ss}=\lim_{s\to 0}s\left(\frac{4}{s}+\frac{6}{s^2}+\frac{6}{s^3}\right)\frac{1}{1+\frac{8(0.5s+1)}{s^2(0.1s+1)+8(0.5s+1)}}
化简后得到：
e_{ss}=\frac{3}{4}
因此，当输入信号 r(t)=4+6t+3t^2 时，系统的稳态误差为 e_{ss}=\frac{3}{4} 。