已知等差数列{an} 若Sn=a S2n=b 求S3n

Question

如题所述

Answer 1

方法一:
对于这类题,我认为首先要明确的是:
等差数列中Sn、S2n-Sn、S3n-S2n……也成等差数列

以下是证明过程:
设等差数列{an}的首项为a1,公差为d
Sn=a1+a2+……+an
S2n-Sn=a(n+1)+a(n+2)+……+a(2n)
=a1+nd+a2+nd+……+an+nd
=a1+a2+……+an+n^2d
=Sn+n^2d
同理:
S3n-S2n=a(2n+1)+a(2n+2)+……+a(3n)
=a(n+1)+a(n+2)+……+a(2n)+n^2d
=(S2n-Sn)+n^2d
∴2(S2n-Sn)=(S3n-S2n)+Sn
∴Sn,S2n-Sn,S3n-S2n是等差数列

利用上述结论就比较好做了
∵2(S2n-Sn)=(S3n-S2n)+Sn
∴2(b-a)=(S3n-b)+a
解得:
S3n=2b-2a-a+b
=3(b-a)

这是比较简便的方法,若不知结论可以用基本定义慢慢做:

方法二:
∵{an}是等差数列
Sn=n(a1+an)/2=a
∴a1+an=2a/n..................①
S2n=2n(a1+a2n)/2=b
∴a1+a2n=b/n..................②
S3n=3n(a1+a3n)/2
∴a1+a3n=2S3n/3n................③
②-①:
a2n-an=b/n-2a/n
③-②:
a3n-a2n=2S3n/(3n)-b/n
∵{an}是等差数列
∴an、a2n、a3n也成等差(这个显然,就不证了)
∴b/n-2a/n=2S3n/(3n)-b/n
解得：
S=3(b-a)

Answer 2

解：Sn=a S2n=b
因为Sn ，S2n-Sn ，S3n-S2n
也成等差数列，
所以
2(S2n-Sn )=Sn+（S3n-S2n）
代入数据，解得S3n=3b-3a

Answer 3

以等差数列的n个数为一个单位，没个相邻的单位都比前一个单位大相同的数值。 比如，原等差数列的公差为a，那么，每n个数组成的新数列的公差就为n*a 聚个例子：1 ，2，3，4，5，6，7，8，9。。。 设n=3 那么每3个数为新的等差数列。 Sn=1+2+3=6 S2n=4+5+6=1+2+3+3*3=6+9=15 S3n=7+8+9=4+5+6+3*3=15+9=24 。。。。。。 S2n-Sn-Sn=常数=n*a S3n={首数(Sn)+尾数(S2n+n*a)}*3/2 如果不知道公差a 还可以用: S3n-S2n-(S2n-Sn)=S2n-Sn-Sn 解得：S3n=3(S2n-Sn) 呵呵，这是高中数学吧？ 好好学，祝你将来能考上所理想的大学