若非零函数f（x）对于任意实数a，b均有f（a+b）=f（a）*f（b），且当x<0时，f（x）>1;求证f（x）>0

Question

如题所述

Answer 1

证明: 将a=b=0代入 , 则可得 f(0)=f(0)^2 , 即 f(0)=0 或 f(0)=1 若f(0)=0 , 设任意a<0 ,b=0代入,则可得f(a)=f(a)*f(0)=0, 因为 当x<0时，f（x）>1 所以f(0)=0不成立 所以f(0)=1 设任意x<0 ,则-x>0 代入x和-x ,可得 f(0)=f(x)*f(-x)=1, 所以 f(-x)=1/f(x) 因为 当x<0时， f(x)>1 , 所以 0<1/f(-x) <1, 即 0<f(-x)<1 (-x>0) 所以 当x>0时, 0<f(x)<1 又因为当x=0时, f(0)=1 综上所述,f(x)>0 在R上恒成立