若非零函数f(x)对任意实数a,b均有f(a+b)=f(a)·f(b),且当x<0时,f(x)>1。

Question

求证：f(x)＞0 求证：f(x)为减函数 若f(4)=1/16，求不等式f(x-3)·f(5-x²)≤1/4的解集 急速求解答！！！！！！！在线等解答！！！

Answer 1

(1)求证：f(x)>0
既然
对任意实数a,b均有f(a+b)=f(a)·f(b)，则有
f(a
+
a)
=
f(a)
*
f(a)
f(x)
=
[f(x/2)]^2
≥
0
恒成立。
如能进一步证明
对定义域任意x
f(x)
≠
0，
恒成立。则
f(x)
>
0
成立。
采用反证法：
假设存在
x0,
f(x0)
=
0
那么对任意
x，f(x)
=
f(x
-
x0)*f(x0)
=
0
这与
f(x)
为非0函数矛盾。因此
不存在
x0
，使得
f(x0)
=
0
综上所述：f(x)
>
0
===============================================
(2)求证:f(x)为减函数
设
x2
>
x1
f(x1)
-
f(x2)
=
f(x1
-
x2
+
x2)
-
f(x2)
=
f(x1
-
x2)*f(x2)
-
f(x2)
=
[f(x1
-
x2)
-
1]*f(x2)
x1
-
x2
<
0
，而已知
x<0
时,
f(x)
>
1。因此
f(x1
-
x2)
-
1
>
0
同时已知
f(x)
恒大于0。即
f(x2)
>
0
因此
f(x1)
-
f(x2)
=
[f(x1-x2)
-1]f(x2)
>
0
即对定义域内任意
x2
>
x1，恒有
f(x2)
-
f(x1)
<
0
因此
f(x)
函数是
减函数
====================================================
(3)当f(4)=1/16
时，解不等式f(x-3)·f(5-x^2)≤1/4
f(4)
=
1/16，所以
f(4)
=
f(2+2)
=
f(2)*f(2)
=
1/16
根据
f(x)
>
0
，舍去
f(2)
=
-1/4
f(2)
=
1/4
根据
f(a)*f(b)
=
f(a+b)，则
f(x-3)*f(5-x^2)
=
f(2
+
x
-
x^2)
≤
1/4
=
f(2)
根据
f(x)
是减函数，则
2
+
x
-
x^2
≥
2
x^2
-
x
≤
0
x(x-1)
≤
0
0
≤
x
≤
1
参考资料：实际上
，底数
小于1
的指数型函数
恰好
满足f(x)的各种性质