假设f(x)和g(x)在x=a处连续且二阶可导,则有
f'(a)=g'(a)=0,f''(a)<0,g''(a)<0
F'(x)=[f(x)·g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
故F'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a)=0
所以F(x)在x=a处取得极值,C选项错误。
F''(x)=[f'(x)g(x)+f(x)g'(x)]'=f''(x)g(x)+f(x)g''(x)+2f'(x)g'(x)
故F''(a)=f''(a)g(a)+f(a)g''(a)+2f'(a)g'(a)=f''(a)g(a)+f(a)g''(a)
只知道f''(a)<0,g''(a)<0,而g(a)和f(a)的符号不能确定,所以F''(a)的符号不能确定。所以,即使知道f(x)和g(x)在x=a处二阶可导,且二阶导数小于零,也只能确定F(x)取得极值,但无法确定是极大值还是极小值,选D正确。