（Ⅰ）如图，以O为原点，在平面OBC内垂直于OB的直线为x轴，OB，OA所在的直线分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系O-xyz，
则A（0，0，2√），B（0，2，0），D（0，1，√3），C（2sinθ，2cosθ，0）．
设向量n1=（x，y，z）为平面COD的一个法向量，
向量OD=（0，1，√3），向量OC=（2sinθ，2cosθ，0）
向量n1•OD=y+√3z=0
向量n1•OC=xsinθ+ycosθ=0
取z=sinθ，则向量n1=（√3cosθ，-√3sinθ，sinθ）．因为平面AOB的一个法向量为n2=（1，0，0），由平面COD⊥平面AOB得向量n1•n2=0
所以cosθ=0，即θ=π/2．
（Ⅱ）设二面角C-OD-B的大小为α，由（Ⅰ）得当θ=π/2时，cosα=0；
当θ∈（π/2，2π/3]时，tanθ≤-√3，cosα=向量n1•n2/[|向量n1|•|n2|]
=√3cosθ/√(3+sin^2θ)=- √3/√(3+4sin^2θ)，
故-√5/5≤cosα＜0．
综上，二面角C-OD-B的余弦值的取值范围为[-√5/5，0]．
则A（0，0，2√），B（0，2，0），D（0，1，√3），C（2sinθ，2cosθ，0）．
设向量n1=（x，y，z）为平面COD的一个法向量，
向量OD=（0，1，√3），向量OC=（2sinθ，2cosθ，0）
向量n1•OD=y+√3z=0
向量n1•OC=xsinθ+ycosθ=0
取z=sinθ，则向量n1=（√3cosθ，-√3sinθ，sinθ）．因为平面AOB的一个法向量为n2=（1，0，0），由平面COD⊥平面AOB得向量n1•n2=0
所以cosθ=0，即θ=π/2．
（Ⅱ）设二面角C-OD-B的大小为α，由（Ⅰ）得当θ=π/2时，cosα=0；
当θ∈（π/2，2π/3]时，tanθ≤-√3，cosα=向量n1•n2/[|向量n1|•|n2|]
=√3cosθ/√(3+sin^2θ)=- √3/√(3+4sin^2θ)，
故-√5/5≤cosα＜0．
综上，二面角C-OD-B的余弦值的取值范围为[-√5/5，0]．
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第1个回答 2014-10-06
建立空间直角坐标系然后求两个平面的法向量，根据公式就可以求出两个平面的夹角了
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