矩阵的秩有什么用？

Question

如题所述

Answer 1

1.矩阵的秩

秩最直观的就是化简为行最简形或等价标准形来直接看出来，而这两种形状最常见的用途就是用来解矩阵对应的线性方程组的解，所以遇到秩可以往对应的 Ax = 0 齐次方程组上靠。

矩阵的秩还反映了矩阵中线性无关的向量数量 矩阵行、列空间的维数等于秩，即 dim(R(A)) = dim(C(A)) = rankA 秩与特征值之间完全没有关系，但是和特征值的数量有一点关系：矩阵的秩 ≥ 其非零特征值个数

相等情况：矩阵可以相似对角化，易得相似变换不改变秩 所以对角矩阵的秩 = 其对角线非零元素个数 = 矩阵非零特征值个数

一般情况：矩阵相似于 Jordan 标准形，零特征值对应的 Jordan 块可能不是零矩阵 所以就占用了秩，导致非零特征值减少

秩等于非零奇异值的数量 ⇒ 由于 rankA = rank(A^H * A)，因为 A^H * A 是正规矩阵，所以能够相似对角化 ⇒ 所以 rank(A^H * A) = 非零特征值个数 = 非零奇异值个数 = rankA 矩阵的运算对于秩的影响总结：

2 矩阵的特征值

Ax=λx⇒(A−λI)x=0⇒|A−λI|=0。
矩阵的特征值问题是对于方阵而言的。特征值可以为0，特征向量不能为0。