设三角形ABC外接圆半径为r,则
S三角形ABC=(1/2)absinC=2r^2sinAsinBsinC<=2r^2[(sinA+sinB+sinC)/3]^3(均值不等式)<=2r^2{sin[(A+B+C)/3]}^3=(3√3/4)r^2(琴生不等式)
等号当sinA=sinB=sinC,即A=B=C时成立,所以当三角形为正三角形时面积最大。
以三角形任意两边的中点连接,,如图,O,F分别是AB,AC的中点,连接OF,OF平行BC,2OF=BC,,在三角形AOF中以任意一个中点(O或F)为圆心旋转,使A点与B点或C点重合,,,边角边公式,,三角形AOF与三角形BOE或三角形CPF全等,四边形EBCF或四边形OBCP面积为三角形ABC的面积,,底面相同,高度减半
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