已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CM⊥AB于M，AT平分∠BAC交CM于D，交BC于T，过D作DE∥AB交BC于E，求证：C

Question

已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CM⊥AB于M，AT平分∠BAC交CM于D，交BC于T，过D作DE∥AB交BC于E，求证：CT=BE．

Answer 1

证明：过T作TF⊥AB于F，
∵AT平分∠BAC，∠ACB=90°，
∴CT=TF（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∵∠ACB=90°，CM⊥AB，
∴∠ADM+∠DAM=90°，∠ATC+∠CAT=90°，
∵AT平分∠BAC，
∴∠DAM=∠CAT，
∴∠ADM=∠ATC，
∴∠CDT=∠CTD，
∴CD=CT，
又∵CT=TF（已证），
∴CD=TF，
∵CM⊥AB，DE∥AB，
∴∠CDE=90°，∠B=∠DEC，
在△CDE和△TFB中，

∠B＝∠DEC ∠CDE＝∠TFB＝90° CD＝TF

，
∴△CDE≌△TFB（AAS），
∴CE=TB，
∴CE-TE=TB-TE，
即CT=BE．

Answer 2

分析：过T作TF⊥AB于F，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等得TF=CT，再根据角平分线的定义和等角的余角相等的性质得到∠CDT=∠CTD，所以CD=CT，再证明△CDE和△TFB全等，然后根据全等三角形对应边相等可以得到CE=TB，都减去TE即可得到CT=BE．