如图：在等边三角形ABC中，D是边AB上一点，过D作DG平行BC，交AC于点G，在GD的延长线上取点E,使DE

Question

如图：在等边三角形ABC中，D是边AB上一点，过D作DG平行BC，交AC于点G，在GD的延长线上取点E,使DE=DB,连结AE，CD的延长线交AE于点E，求△AGE全等△DAC，求角AFD
请详细解答，谢谢

Answer 1

（1）因为DG平行BC，所以，三角形ADG相似三角形ABC，
所以，三角形ADG是等边三角形，
即有 AD=AG=DG，角BAC=角AGD=60度。
进而有，BD=AB-AD=AC-AG=CG，因为DE=BD，所以，DE=CG，
因此有，EG=DE+DG=CG+AG=AC，
所以，三角形AGE全等三角形DAC（SAS）。
（2）三角形AEF是等边三角形，理由如下：
因为EF平行CD，DE平行BC，所以，四边形EFCD是平行四边形，
所以，EF=CD，DE=CF。
由（1）中三角形AGE全等三角形DAC，得，AE=CD，于是，AE=EF。
因为BF=BC-CF=AB-BD=AD，所以，同样可证，三角形ABF全等三角形CAD，
所以，AF=CD=AE。进而有，AE=EF=AF，所以，三角形AEF是等边三角形。

Answer 2

1证明：连接BE，
因为△ABC是等边三角形，DG‖BC，DE=DB,
所以，△BDE是等边三角形，且DE=DB=BE,
AB=BC=AC,角CBA=角ABE=60°
证明，△AEB≌△CDB( SAS边角边）
由证明得出：AE=CD,
在证明四边形EBCG是平行四边形，因为 DG‖BC，，△BDE是等边三角形 。所以
所以，由证明得EG=BC，所以，EG=AC.
证明△CDBADG为等边三角形，
所以，AG=AD；
由前面求证的AE=CD，，EG=AC，AG=AD
这就证明出△AGE≌△DAC （SSS)
（2）△AEF是等边三角形，
因为 DG‖BC，CD‖EF,所以四边形CDEF为平行四边形，
所以CD=EF，
而（1）里以证明得AE=CD，
所以EF=AE，
所以△AEF为等腰三角形，
之后在根据几个等边三角形的关系，就证得△AEF是等边三角形。

Answer 3

因为DG平行BC，又ABC是等边三角形，所以就有AD=AG，因为AGD也是等边的。
所以又有AG=DG，又ED＝DB，DB＝GC，所以ED＋DG=AG+GC既EG=AC。
到此就正出两边相等。还差一角。如下:因ADG等边，所以角DAG等于角AGD。
综上，又两三角全等。

角AFD等于60度。∠E+∠FDE=∠DCG+∠CDG=∠AGD=∠AFD。

Answer 4

因为DG平行BC，所以，三角形ADG相似三角形ABC，
所以，三角形ADG是等边三角形，
即有 AD=AG=DG，角BAC=角AGD=60度。
进而有，BD=AB-AD=AC-AG=CG，因为DE=BD，所以，DE=CG，
因此有，EG=DE+DG=CG+AG=AC，
所以，三角形AGE全等三角形DAC（SAS）。

角AFD等于60度。∠E+∠FDE=∠DCG+∠CDG=∠AGD=∠AFD。

Answer 5

因为DG平行BC，又ABC是等边三角形，所以就有AD=AG，因为AGD也是等边的。
所以又有AG=DG，又ED＝DB，DB＝GC，所以ED＋DG=AG+GC既EG=AC。
到此就正出两边相等。还差一角。如下:因ADG等边，所以角DAG等于角AGD。
综上，又两三角全等。

角AFD等于60度。∠E+∠FDE=∠DCG+∠CDG=∠AGD=∠AFD