几道高一的数学题（高分）

Question

目前在上高二，在复习高一内容时发现了几道问题，跪求详解！

1. 设x>0,y>0，2x+y=6 ，求Z=4x^2+3xy+y^2-6x-3y的最大最小值为？

2. sinx+cosx=-1，求sin^(2005)x+cos^(2005)x的值。

3.已知在平面上的方向向量e=（-4/5，3/5），点O（0，0）和A(1,-2)在直线L上的射影分别是O`和A`，则向量O`A`=βe，求β。

4.三平面两两垂直，它们的三条交线交于点O，则P到三个面的距离分别是3，4，5。求OP的长。

5.已知f（x）是偶函数，且当x>=0时它是减函数，若f（lgx）>f(1)，则求x的取值范围。

6.已知二次函数f(x)=ax^2+x(a是实数，a不等于0)，对任意x属于[0,1]有|f(x)|<=1，求a的取值范围？
做几道是几道，但一定要给出详细解释。

Answer 1

1
2x+y=6,
0<=x=(6-y)/2<=3
z=4x^2+3xy+y^2-6x-3y
=4x^2+18x-6x^2+36-24x+4x^2-6x-18+6x
=2x^2-6x+18
=2(x-3/2)^2+27/2
x=3/2,zmin=27/2
x=0或x=3,zmax=18

2
因为sinx+cosx=-1,(sinx)^2+(cosx)^2=1
所以sinx*cosx=0
所以可以知道sinx=-1,cosx=0或sinx=0,cosx=-1
所以(sinx)^2005+(cosx)2005=-1

3
∵直线L的方向向量e=(-4/5,3/5)，
∴直线L的斜率k=（3/5）/（-4/5）=-3/4
点O（0，0）和A（1，-2）在L上的射影分别是O‘和A’
则OO'⊥L,AA'⊥L
∴Koo'=Kaa'=-1/k=4/3......①
设点O'(a，b)，A'（m，n）
∴b/a=4/3，即：b=4a/3
（n+2）/（m-1）=4/3，即：n=（4m-10）/3
O'A'=(m-a,n-b)=βe=(-4λ/5,3λ/5)
即：m-a=-4β/5.....②
n-b=[4(m-a)-10]/3=3/β5.....③
由③可得：4（m-a）=9β/5+10......④
将①代入④中，可得：β=-2.

①是由“两直线垂直，斜率互为负倒数”所得.

4
根据坐标的定义P的坐标为(3,4,5,),O为原点OP 长为3方+4方+5方的算术根!=5根式2

5
∵f(x)是偶函数
∴f(-x)=f(x）=f(|x|)…………用这个式子可以避免讨论x的正负
f(lgx)＞f(1)可化为f(|lgx|)＞f(1),
∵它在[0,+∞)上是减函数
∴|lgx|<f(1),即-1<lgx<1
解得x∈(1/10,10).

6
若a≥0，上抛二次函数的对称轴为x=-1/2a
-1/2a＜0
函数在(0,1)区间单调递增
此时在区间内最小值为f(0),最大值为f(1)
为使得|f(x)|≤1成立
则f(0)≥-1同时f(1)≤1
f(0)=0＞-1
a∈R
f(1)=a+1
a+1≤1
a≤0
则a=0时成立

若a＜0
下抛二次函数的对称轴为x=-1/2a
由于a＜0
函数在区间(0,-1/2a)单调递增
在区间(-1/2a,＋∞)单调递减
此时
若-1/2a∈[0,1]
a≤-1/2
二次函数最大值为f(-1/2a)
最小值可能是f(0)或f(1)
则f(-1/2a)≤1同时f(0)≥-1同时f(1)≥-1
f(-1/2a)=-1/4a≤1
a≤-1/4
f(0)=0≥-1
f(1)=a+1≥-1
a≥-2
交集为a∈[-2,-1/2]

若-1/2a∈（1,＋∞]
a＞-1/2
函数在[0,1]区间单调递增
则 f(0)≥-1 f(1)≤1

f(0)=0≥-1
f(1)=a+1≤1
a≤0
交集为a∈(-1/2,0）

Answer 2

1、解题思路是从2x+y=6中导出y=6-2x,再代入z中，即得到了一个关于x的一元二次方程，再利用配方法结合x>0,y>0，就可以算出Z的最大最小值

Answer 3

第一题化简代入求
第二题sin平方x加cos平方x等于1
第三题画平行线
第四题画图就出来了
第五题把偶函数f(x)＝f(-x)代入就出来了
第六题直接化简
这么简单的题,我看得郁闷…

Answer 4

1、Z=(2x+y)^2-xy-6x-3y
Z=36-x(6-2x)-6x-3(6-2x)
Z=2[(x-3/2)^2+27/4]
最大值：无穷大 最小值：27/2
2、(sinx+consx)^3=-1
sinx^3+cosx^3+3(sinx^2cosx+cos^2sinx)=-1
代入cos^2+sinx^2=1得：
sinx^3+cos^3=-1
同理可得sinx^4+cos^4=1
同理sinx^2005+cosx^2005=-1
3、
4、可以画一个矩形 5*根号2