如果一个矩阵的秩为r，当它加上单位矩阵后，它的秩如何变化。

Question

如题所述

Answer 1

rank(A) = r，那么对于 rank(A+E)：
只能证明 rank(A+E) >= n-r
因为 rank(U) + rank(V) >= rank(U+V)
令 U=A+E，V=-A，就得到：rank(A+E) + r >= rank(A+E-A) = rank(E) = n

更多的结论就得不到了。
你可以想象A是个对角阵，对角线上：n-r个0，k个1，r-k个-1。
那么A+E也是个对角阵，对角线上：n-r个1，k个2，r-k个0。
可见A+E的秩是：n-r+k，而k是我们任意选的从0到r的数。