初一奥数题（200分！）

Question

一.将连接圆周上的9个不同点的36条直线段染成红色或蓝色，假设9点中每三点所确定的三角形都至少含有一条红色的边。证明：有四点，其中每两点的连线都是红色。
二.有9名数学家在一次国际数学家会议上相遇，假定每三个人总有两人互相认识，证明必有4名数学家彼此认识。
三.用任意方式给平面上的每一个点染上黑色或白色。求证：一定存在一个边长为1或根号3的正三角形，它的三个点是同色的。
(其实我已经换其它的号了)请大家不要抄袭奥数书上的答案，我要另外的做法！

Answer 1

1.这题我想到了二进制来控制颜色，我对9个点分别标上号，0或1，也就是说，每一个点都一个号，是0或1，然后我规定，两个点号码不同，连起来就是蓝色的，号码相同，连起来同色，这样一来，每一个三角形的三个点，根据抽屉原理，一定有两个点是同色的，那么也就至少有一条边是红色的，这样就很好的模拟了条件！然后我发现，根据抽屉原理，至少有5个1或至少有5个0，这样，我其实证明了，一定存在有5个点，其中每两点的连线都是红色。

2.第二题和第一题其实是一个题，就好象客人就是1个点，认识就是两个点之间的连线是红色的，由上题得到，我们至少存在5个点，其中每两点的连线都是红色。那么也就至少存在5个人，他们是互相认识的。

3。这道题没个图没法说清楚，所以我用坐标来说，你解析法应该懂吧。
首先在平面上一个边长为1的正三角形，至少有两个点是同色的。所以我随便找两个点，相距1，不妨让这两个点是白色的。我把它放到坐标系中，令(0,0)点是红色的，(0,1)点是白色的，然后用反证法，先假定这个命题是不成立的，那么(sqrt(3)/2,1/2)是黑色的，同理，(-sqrt(3)/2,1/2)也是黑色的，而(sqrt(3)/2,1/2)，(-sqrt(3)/2,1/2)，(0,-1)是边长为sqrt(3)的正三角形，所以(0,-1)是白色的，那么(0,0)，(0,-1)是白色的，那么(sqrt(3)/2,-1/2)是黑色的，但是这么画下去怎么化也画不出矛盾的条件。我做不出，只能帮你找答案。答案我还是看懂了。

首先证明若相距2的两个异色的点，一定是存在满足条件的三角形。
不妨令(-1,0)是黑色的，(1,0)是白色的。那么不妨令(0,0)是白色的，这样(1/2,sqrt(3)/2)是黑色的，(1/a2,-sqrt(3)/2)是黑色的，(-1,0)(1/2,sqrt(3)/2)(1/2,sqrt(3)/2)就是边长为sqrt(3)且顶点同色的三角形。
然后证明一定存在相距2的两个异色的点
以(0,0)为圆心，4为半径，画圆，如果圆内都是白色的(黑色同理)，那么要证命题已经成立，若至少存在一个p点，是黑色的，那么必可在圆内找到和p相距2，且是白色的点，那么命题成立。

证明还是很巧妙的，叹为观止。

Answer 2

一、用点A1、A2、…、A100表示客人，红、蓝的连线分别表示两人相识或不相识，因为由一个顶点引出的蓝色的线段最多有32条，所以其中至少有三点之间连红线．这三个点（设为A1、A2、A3）引出的蓝色线段最多为96条．去掉所有这些蓝色的线段（连同每条线段上的一个端点AI，I≠1，2，3），这样，在图中至少还剩下四个点，除A1、A2、A3外，设第四点为A4，这四个点中A1，A2，A3每一个点与其它的点都以红色的线段相连，于是客人A1、A2、A3、A4彼此两两相识．

二、设M为线段AB的中点．若红点C与蓝点D关于M对称，则CA=DB．可以将这两点同时取消，考虑剩下的点．这样，红点、蓝点逐一抵消，剩下的红点、蓝点仍然一样多．

如果红点、蓝点抵消完，那么结论已经成立，否则每个红点C关于M的对称点D也是红点，CA+DA=AB．因此，红点到A的距离和等于k·AB，2k是红点的个数．同理，蓝点到B的距离和也为k·AB．因此结论成立．

三、将23×23的正方形地面中第1，4，7，10，13，16，19，22列中的小方格全染成黑色，剩下的小方格全染成白色，于是白色的小方格的个数为15×23，这是一奇数．因为每块2×2瓷砖总是盖住二黑格和二白格或者盖住四白格，每块3×3瓷砖总是盖住三黑格和六白格，故无论多少2×2及3×3的瓷砖盖住的白格数总是一个偶数，不可能盖住23×15个白格，所以，只用2×2及3×3的瓷砖不能盖住23×23的地面．

Answer 3

先利用右图证明”若平面上有两个异色的点距离为2，地么必定可以找到符合题意的三角形”．再找长为2端点异色的线段．以O（白色）为圆心，4为半径作圆．如圆内皆白点，问题已证．否则圆内有一黑点P，以OP为底作腰长为2的三角形OPR，则R至少与O、P中一点异色，这样的线段找到．

Answer 4

第二题：
设：1.三人（A1B1C1）互相认识
2.三人（A2B2C2），
3.三人（A3B3C3），
因为共有九人。则：
A1＝B1＝C1
A2＝B2＝C2
A3＝B3＝C3，所以不难推出；必有4名数学家彼此认识

Answer 5

1~因为每个三角形必须都有一条红边,所以可以确定9点中必定有7个或7个以上的红点。因此假如取4点红点，那么其中每两点的连线都是红色。