a+b+c=1/a+1/b+1/c，abc=1?怎么出来的?

Question

如题所述

Answer 1

最小值为1/32。三种情况下取得此最小值：（1/2,1/4,1/4）、（1/4,1/2,1/4）、（1/4,1/4,1/2）。

求解思路：
由a+b+c=1得b+c=1-a。
由1/a+1/b+1/c=10得1/b+1/c=10-1/a，整理得(b+c)/bc=(10a-1)/a，由此得bc=a(1-a)/(10a-1)。
所以，abc=a^2(1-a)/(10a-1)。求此式最小，此式中仅有一个变量a。

讨论a的取值范围。
由于b+c=1-a，bc=a(1-a)/(10a-1)，又(b+c)^2-4bc=(b-c)^2>=0。
所以，(1-a)^2-4a(1-a)/(10a-1)>=0，整理得-10a^2+7a-1>=0，所以1/5<=a<=1/2。
由于a,b,c三个变量是对称的，又a+b+c=1，所以a,b,c中至少有一个大于等于1/3。
不失一般性，令a>=1/3。所以，1/3<=a<=1/2。

讨论函数y=abc=a^2(1-a)/(10a-1)在区间[1/3,1/2]的单调性。
通过尝试绘制图形，可以得到y在区间[1/3,2/5]单调上升，在[2/5,1/2]单调下降（该结论可以用高等数学中的内容证明），且y在a=1/3处的取值大于a=1/2处的取值。所以y在a=1/2处取得最小值，最小值为1/32。

当a=1/2时，b+c=1-a=1/2，bc=a(1-a)/(10a-1)=1/16，所以b=c=1/4。

因为a具有一般性，a,b,c三个变量是对称的，所以在a,b,c取值为（1/2,1/4,1/4）、（1/4,1/2,1/4）和（1/4,1/4,1/2）时，都取得最小值1/32.