limx→0 (e^x-cosx-2x)/x^2-2x 几道AP微积分题目求教！！

Question

1 求题目中这个极限的值
2 如果g(x)=∫(上2x下0)f(t)dt 求g'(3)的值?
3 原题是
the number of moose in a national park is modeled by the function M that satisfies the logistic differential equation dM/dt =0.6M(1-M/200), where t is the time in years and M(0)=50, what is lim(t→无穷)M(t)?
4 无穷级数∑(n=1到无穷) n/(n^p +1)收敛 求p取值范围
5 ∫2x/(x+2)(x+1) dx=? 我感觉这个题应该用分部积分求解，但是总是就被绕进去了= =向各位求助π~~π

Answer 1

1，罗比达法则, 上下求导后
limx→0 (e^x+sinx-2) / (2x-2)
分式上下分别趋向 -1和-2 是定值,所以答案是1/2

2.g'(x)=2f(2x),g'(3)=2f(6)

3.解微分方程200dM/[M(200-M)]=(0.6)dt
[(1/M)+1/(200-M)]dM=0.6dt
ln[M/(200-M)]=0.6t+C1
M/(200-M)=Ce^(0.6t),M(0)=50,C=1/3,
解出来M=200(e^(3t/5))/(3+e^(3t/5)),
求极限limM=200

4.un=n/(n^p+1)≤n/(n^p)=1/[n^(p-1)]
由题意，un收敛，1/[n^(p-1)]也收敛，
所以，p-1>1,
所以p>2

5. ∫2x/(x+2)(x+1) dx= 2∫[2/(x+2)-1/(x+1)]dx，会了么？
=2[2ln(x+2)-ln(x+1)]+C
=2ln(x+2)²/(x+1)+C

Answer 2

e^x-1~x,1-cosx~x^2/2,所以原式等於(x+x^2/2-2x)/(x^2-2x)=1/2

Answer 3

因为当x趋向0时, (e^x-cosx-2x) 趋向 0
x^2-2x 也趋向0
所以可采用L'hospital法则(洛必大), 上下求导后
limx→0 (e^x+sinx-2) / (2x-2)
分式上下分别趋向 -1和-2 是定值,所以答案是1/2

Answer 4

先代入0计算得，0:0型，用洛必达法则，对分子分母分别求导后得，limx~0(e^x+sinx)/(2x-2),再代入0得，极限为负(1/2)。

Answer 5

分子上加个1再减个1　分子拆成e^x-1和1-cosx和-2x 　　利用等价无穷小代换 就Ok了

Answer 6

用罗必塔法则啊，上下求导一次就行
第二题没给f（x）吗