高数 什么时候需要用左右导数定义，什么时候不需要用呢，比如这个题为什么不用用定义，直接左右求导算出

Question

高数 什么时候需要用左右导数定义，什么时候不需要用呢，比如这个题为什么不用用定义，直接左右求导算出左右倒数呢

Answer 1

这是分段函数，在分段点x=1处的左右两段有不同的解析式，所以求x=1处的导数当然要分别用导数定义求左右导数了。追问

这个题也是分段函数

但这个需要按定义来

所以有点混乱，以为都要用定义

Answer 2

这里都说了函数是处处可导
那么当然就是导函数连续
所以左右两个分段函数
其导数也是连续的
只需要分段点处的左右导数相等即可
而如果只是给出该点函数值
那就需要用定义，lim来求了

Answer 3

+-×÷﹢﹣±/=≈≡≠∧∨∑∏∪∩∈⊙⌒⊥∥∠∽≌<>≤≥≮≯∧∨√﹙﹚[]﹛﹜∫∮∝∞⊙∏
f(x)
=ax+b ; x>1
=x^2 ; x≤1
f(1+)=lim(x->1+) (ax+b) = a+b
f(1)=f(1-)=lim(x->1-) x^2 = 1
x=1, f(x)连续
=>
f(1+)=f(1-)=f(1)
a+b=1 (1)
f'(1+)
=lim(h->0+) [ f(1+h) -f(1) ]/ h
=lim(h->0+) [ a(1+h)+b -1 ]/ h
=lim(h->0+) [ a+b -1 +ah ]/ h
=lim(h->0+) [0 +ah ]/ h
=a
f'(1-)
=lim(h->0-) [ f(1+h) -f(1) ]/ h
=lim(h->0-) [ (1+h)^2 -1 ]/ h
=lim(h->0-) [ 2h+h^2 ]/ h
=lim(h->0-) (2+h)
=2
x=1, f(x) 可导
=>
f'(1+)=f'(1-)
a=2
from (1)
a+b=1
2+b=1
b=-1
(a,b)=(1,-1)