要求解线性方程组的通解，可以使用矩阵运算或高斯消元法来进行计算。下面是求解线性方程组通解的一般步骤：
将线性方程组写成增广矩阵的形式，其中方程的系数和常数项构成一个矩阵。
对该增广矩阵进行初等行变换，将其转化为行简化阶梯形矩阵（也称为梯形矩阵）。
根据得到的行简化阶梯形矩阵，写出方程的解的参数形式。
最后，通过给参数赋予不同的值，可以得到线性方程组的不同特解，从而获得线性方程组的通解。
具体的步骤如下：
将线性方程组写成增广矩阵的形式，例如：
2x + 3y - z = 4
x - y + z = 1
3x + 2y - 2z = 3
对应的增广矩阵为：
[ 2 3 -1 | 4 ]对增广矩阵进行行变换，将其转化为行简化阶梯形矩阵。使用高斯消元法或列主元高斯消元法等方法，逐步将矩阵转化为行简化阶梯形矩阵。
根据行简化阶梯形矩阵，写出方程的解的参数形式。根据主元所在列的位置，将未知数分为主变量和自由变量。主变量会有特定的取值，而自由变量可以取任意值。
通过给参数赋予不同的值，求解出主变量对应的特解，从而得到线性方程组的通解。
需要注意的是，解线性方程组时可能存在无解或唯一解的情况，这取决于方程组的系数矩阵的秩和增广矩阵的秩之间的关系。如果秩相等且等于未知数的个数，则方程组有唯一解；如果秩不相等，则方程组无解；如果秩小于未知数的个数，则方程组有无穷多解。
齐次线性方程组通解是由基础解系和c1，c2…的线性组合。
基础解系是所有的解向量。比如一个齐次线性方程组的基础解系是ξ1=（3,5,1,0）的转置，ξ2=（4,7,0,1）的转置，那么这两个都写出来叫做基础解系，每一个就叫做解向量。
齐次方程组的基础解系是解向量空间的最大无关组,即所有解向量可以由基础解系来表示,前提是齐次方程组.
齐次方程组的通解是常数与基础解系积的和，非齐次方程组的通解是齐次方程组通解基础上加上自己的一个特解。