已知数列前n项和为Sn,首项为a1,且1,an,Sn为等差数列 (1)求数列{an}的通项公式

Question

(2)设Tn为数列{n/an}的前n项和,若对于一切n∈N*,总有Tn<m-4/3成立,其中m∈N*,求m的最小值

Answer 1

∵1,an,Sn为等差数列
∴2a1=1+S1=1+a1 2a2=1+S2=1+a1+a2
∴a1=1 a2=2
由2an=1+Sn 2a(n-1)= 1+S(n-1)得
2an-2a(n-1)=Sn-S(n-1)=an(n>1)
∴an=2a(n-1)(n>1) 即当n>1时an为以q=2为公比，a2=2为首项的等比数列
∴an=2*2^(n-2)=2(n-1)(n>1)
当n=1时 a1=1=2^（1-1）满足通项公式
∴an=2^(n-1)
(2) Tn=1+2/2+3/2²+……+（n-1)/2^(n-2)+n/2^(n-1)
1/2Tn= 1/2+2/2²+……+（n-1)/2^（n-1)+n/2^n
两式相减得1/2Tn=1+1/2+1/2²+……+1/2^(n-1)-n/2^n
=[1-(1/2)^n]/(1-1/2)-n/2^n
=2-1/2^(n-1)-n/2^n
∴Tn=4-1/2^(n-2)-n/2^(n-1)
当n>1时Tn-T(n-1)=1/2^(n-3)+(n-1)/2^(n-2)-1/2^(n-2)-n/2^(n-1)=1/2^(n-2)+(n-2)/2^(n-1)>0
∴Tn>T(n-1)即当n>1时，Tn为单调递增数列
当n=1时T1=1/a1=1/1=1<T2
∴对于一切n∈N*,Tn为单调递增数列，即Tn无最大值
∴而Tn<4恒成立
∴m-4/3>=4
∴m>=16/3 又∵m∈N*
∴m的最小值为6

Answer 2

(1)由条件，Sn=a1+…+an,Sn+1=2an,联立两式有an=a1+…+a(n-1)+1=
a1+…+a(n-2)+[a1+…+a(n-2)+1]+1=2[a1+…+a(n-2)+1]=2[2[a1+…+a(n-3)+1]]=…=2^(n-2)(a1+1)
又有a1=S1=2a1-1,所以a1=1，所以通项公式an=2^(n-1)
(2)由通项公式，Tn=1/1+2/2+3/2^2+…+n/2^(n-1)
1/2*Tn=1/2+2/2^2+3/2^3+…+n/2^n
两式相减得，1/2Tn=1+1/2+1/2^2+…+1/2^(n-1)-n/2^n=2-1/2^n-n/2^n=2-(n+1)/2^n,当n>0为整数时，(n+1)/2^n单减，因而2-(n+1)/2^n单增，n越大，Tn越大，若m-4/3要大于所有Tn,则只需大于最大的Tn即可，令n趋向无穷大，T无穷=2大于所有Tn，所以m-4/3=2,m的最小值为10/3