把曲线y=x^3及直线x=2,y=0所围成的图形。分别绕X轴及y轴旋转，计算所得的两个螺旋体的体积。

Question

求大神帮忙。！

Answer 1

把曲线y=x³及直线x=2,y=0所围成的图形。分别绕X轴及y轴旋转，计算所得的两个旋转体的体积
解：①绕x轴旋转所得旋转体的体积：
V₁=[0，2]∫πy²dx=[0，2]∫π(x³)²dx=[π(x^7)/7]︱[o，2]=128π/7
②绕y轴旋转所得旋转体的体积：x=y^(1/3)，y₁=0，y₂=8.
V₂=32π-[0，8]∫π[y^(1/3)]²dy=32π-[0，8]π∫[y^(2/3)]dy=32π-π[(3/5)y^(5/3)]︱[0，8]
=32π-π[(3/5)8^(5/3)=32π-(96/5)π=(64/5)π=12.8π

Answer 2

绕x轴旋转体体积v1=∫[0,2]π(x³)²dx=128π/7
绕y轴旋转体体积v2=32π-∫[0,8]π(y^1/3)²dy=64π/5
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