容斥原理怎么来的

Question

n(A1∪A2∪...∪Am)=∑n(Ai)1≤i≤m－∑n(Ai∩Aj)1≤i≤j≤m+∑n(Ai∩Aj∩Ak)－…+(-1)^m-1)n(A1∩A2…∩Am)1≤I,j,k≤m
怎么得到的？

Answer 1

容斥原理 在计数时,为了使堆叠局部不被反复计算,人们研讨出一种新的计数办法,这种办法的根本思想是:先不思索...然后再把计数时反复计算的数目排挤进来,使得计算的结果既无遗漏又无反复,这种计数的办法称为容斥原理。

例如：
n(A1∪A2∪...∪Am)=∑n(Ai)1≤i≤m－∑n(Ai∩Aj)1≤i≤j≤m＋∑n(Ai∩Aj∩Ak)－…＋(-1)m-1n(A1∩A2…∩Am)1≤I,j,k≤m
注：m-1是-1的指数
这种公式的方式是很复杂的
重在了解
了解了就很好用了
以至不用背就能够本人写出公式来
解题的时分就得心应手

不过这个公式曾经超出了高中的范畴了
高中最多也就讨论m=3的情形
用言语表达似乎很艰难

就是说求几个汇合的并集能够先把他们通通加起来
但是这样做有些中央就多加了
那么就要减掉一些 （由公式来判别什么需求减去）
但是这样做有些中央就多减了
那么就要加上一些 （由公式来判别什么需求加上）
......
如此反复继续下去
最后得到的结果就是这几个汇合的并集

举个例子吧
汇合 a1 , a2 , a3
a1={ 1 , 2 , 3 ，4 }
a2={ 2 , 3 , 4 ，5 }
a3={ 3 , 4 , 5 ，1 }
求三个汇合的并集

依照这个公式
∑n(Ai)1≤i≤m = a1 + a2 + a3 = { 1 , 2 , 3 ，4 , 2 , 3 , 4 ，5 , 3 , 4 , 5 ，1 }

∑n(Ai∩Aj)1≤i≤j≤m = (a1∩a2 + a2∩a3 + a3∩a1) = { 2 , 3 , 4 } +{ 3 , 4 , 5 } + { 3 ，4 , 1}

∑n(Ai∩Aj∩Ak)1≤i≤j≤m = (a1∩a2∩a3) = { 3 , 4 }

代入公式
三个汇合的并集= a1 + a2 + a3 - (a1∩a2 + a2∩a3 + a3∩a1) + (a1∩a2∩a3) = { 1 , 2 , 3 ，4 , 2 , 3 , 4 ，5 , 3 , 4 , 5 ，1 } - ( { 2 , 3 , 4 } +{ 3 , 4 , 5 } + { 3 ，4 , 1 } ) + ( { 3 , 4 } ) = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }

以上就是这个公式的详细应用
我的表达不是很标准
但是这个公式的办法就是这样的
重在了解

我举的例题的答案其实能够一眼看穿
但是这个公式提醒了普遍原理，是用来处理复杂的问题的

Answer 2

通过韦恩图

Answer 3

容斥原理，是求解阴影部分面积中非常重要的一种方法。