求解高中数学的强大不等式！

Question

求证明：
1/x>ln(1+1/x)

可以用高中数学的一切手段解，包括导数。
x∈(-∞，-1)∪（0，+∞）

请解释：
“原不等式成立的充分条件是ln(1+1/x)<1/x,x>0”？是必要条件吧？

那是什么？泰勒公式？

对于其他的回答者只能抱歉了，前三名被占了，我没有办法，希望百度增加参与投票人数。

Answer 1

要证明1/x>ln(1+1/x),x∈(-∞，-1)∪（0，+∞）
令t=1/x,t>-1且t不等于0
只需要证明t>ln(1+t)

证明：
构造函数f(t)=t-ln(1+t)
f'(t)=1-(1/(1+t))
分两种情况：
(1)当t>0时,1+t>1,0<1/(1+t)<1,所以恒有f'(t)>0
f(t)在t>0时单调递增，所以f(t)>f(0)=0恒成立
即t>ln(1+t)恒成立
(2)当-1<t<0
0<1+t<1
1/(1+t)>1,所以f'(t)<0
f(x)在-1<t<0时单调递减，所以f(t)>f(0)=0恒成立
即t>ln(1+t)恒成立

综合(1)(2)，即证明了当t>-1且t不等于0时
t>ln(1+t)恒成立
这也就证明了x∈(-∞，-1)∪（0，+∞）时，1/x>ln(1+1/x)恒成立

方法2
构造函数f(t)=t-ln(1+t)
f'(t)
=1-(1/1+t)
令导数f'(t)=0
1-(1/1+t)=0
求得唯一的极值点t=0
经检验，t=0是函数f(t)的极小值点
所以f(t)>=f
f(t)>=f(0)=0-ln1=0
所以t-ln(1+t)>0恒成立，即t>ln(1+t).证毕

Answer 2

同意“1/x>ln(1+1/x)成立的必要条件是ln(1+1/x)<1/x,x>0”

解：

f(x)'表示f(x)的导数

设f(x)=1/x-ln(1+1/x)

1/x的导数-1/x^2

ln(1+1/x)的导数为

1/(1+1/x)*(1+1/x)'
=1/(1+1/x)*(1/x)'
=1/(1+1/x)*(-1/x^2)

所以f(x)=1/x-ln(1+1/x)的导数为

-1/x^2*[1-1/(1+1/x)]
=-1/x^2*[(1/x)/(1+1/x)]
=-1/x^2*1/(1+x)
=-1/(1+x)*x^2

又由x的定义域得：x∈(-∞，-1)∪（0，+∞）

易得：
当x∈(-∞，-1)时，a'>0，
说明原函数f(x)是增函数
有最小值为当x趋向于-∞时，f(x)的极限
即为0.
说明原函数f(x)=1/x-ln(1+1/x)>0

当x∈（0，+∞）时，a'<0，
说明原函数f(x)是减函数
有最小值为当x趋向于+∞时，f(x)的极限
即为0.
得：f(x)=1/x-ln(1+1/x)>0

综上即证：

1/x>ln(1+1/x)
x∈(-∞，-1)∪（0，+∞）

Answer 3

我自己没有认真想，满试着解释下吧！
证明如下：
原来的不等式是ln(1+1/n)<1/n
原不等式成立的充分条件是ln(1+1/x)<1/x,x>0 （PS：那就不要看这步）
F(x)=ln(1+1/x)-1/x,
求导：F'(x)=-x/[(x+1)x^2]+1/x^2=1/(x^2(x+1))>0
故F(x)在x>0时单增，（讨论部分区间）
最大值不存在，但lim（x→+∞)F(x)=0
故F(x)的水平渐近线是y=0
F(x)<0，
ln(1+1/x)<1/x
故ln(1+1/n)<1/n成立

参考资料：baidu

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Answer 4

ln(1+1/x) 定义域为（－∞，－1）∪（0，∞）

e^(1/x)>1+1/x

e^(1/x)＝1＋(1/x)＋(1/2！)(1/x)^2＋(1/3！)(1/x)^3＋……＋(1/x)(1/n!)^(1/x)^n+……>1+1/x

Answer 5

我对楼上的方法2有点疑问，0只是是区间（0，+∞）的极小值，但并不能证明在区间（－∞，－1）中是极小值啊