函数取得极值必须具备哪些条件？

Question

如题所述

Answer 1

一个函数能够取到极值（最大值或最小）的充分条件该函数在该点处导数等于零，或者导数不存在（即在该点处有一个间断）。然而，这个条件不一定是必要条件，因为函数在取极值的点上的导数是零，或导数不存在，仅仅是取极值的一个充分条件，而不一定是必要条件。
在数学中，为了确定函数是否在某个点取极值，需要通过一些附加的条件来验证。以下是确定函数取极值的必要条件：
1. 极值点必须是函数定义域内的点。
2. 在极值点的左侧和右侧，函数的导数的符号必须不同（也就是说，从负数变为正数或从正数变为负数）。
3. 如果函数在极值点的某一侧是增函数（导数大于零），则极值点是函数的最小值点；如果函数在极值点的某一侧是减函数（导数小于零），则极值点是函数的最大值点。
4. 如果函数在极值点处的导数不存在，则需要进一步分析函数在该点的性质，例如通过左右极限、图像等来确定极值。
需要注意的是，以上提到的是极值的必要条件，但并不一定是充分条件。还可能存在其他情况，如驻点（导数为零但不是极值点），或者在函数定义域边缘取得极值的情况等。因此，确定函数是否取得极值时需要综合考虑以上必要条件以及其他相关因素。