仅供参考. 以下令 A 是一个交换幺环.
按照定义, a ∈ A 是环 A 的一个零因子(zero-divisor) 指存在 A 的非零元素 b 使得 ab = 0 .
这个问题中容易直接计算得到
Z/6Z = {0,1,2,3,4,5}
中的零因子全体是 0,2,3,4 (mod 6).
(注: 有些书上规定 0 不算零因子.)
一般地, 对于环 A 的每个元素 a , 考虑从 A 到自身的映射
f = f_a : x |-----> ax
称为 multiplication by a , 或者 homothety of ratio a . 那么有以下等价刻画,
a 不是零因子 (a is a non-zero-divisor of A) 当且仅当 f 是单射
(因为都等价于说 Ker(f) = 0 )
a 是环 A 的可逆元 当且仅当 f 是
双射现在考虑 A = Z/nZ ( n ≥ 2 ) 的情况, 由于在有限集合上单射,满射和双射等价, 我们得到
a ∈ A 不是零因子
当且仅当 a 是可逆元
当且仅当 整数 a 与 n
互素例如这里, n = 6 , 在 1,2,3,4,5,6 中与 6 互素的只有 1 和 5 , 从而也可以得到上面的结果.