高数 求曲线方程围绕x轴的体积

Question

如题所述

Answer 1

V=π∫ [0,π] y^2dx
=π∫ [0,π] e^(-2x)*sinxdx //***以下用分部积分求对应的不定积分,,
∫ e^(-2x)sinxdx,
设u=e^(-2x), v'=sinx,
u'=-2e^(-2x),v=-cosx,
=-e^(-2x)*cosx-2∫e^(-2x)cosxdx,
∫e^(-2x)cosxdx,
u=e^(-2x), v'=cosx,
u'=-2e^(-2x),v=sinx,
∫e^(-2x)cosxdx=e^(-2x)sinx+2∫e^(-2x)sinxdx,
∫ e^(-2x)sinxdx=-e^(-2x)*cosx-2e^(-2x)sinx-4∫e^(-2x)sinxdx
5∫ e^(-2x)sinxdx=-e^(-2x)(2sinx+cosx),
∫ e^(-2x)sinxdx=(-1/5)e^(-2x)(2sinx+cosx),
π∫ [0,π] e^(-2x)*sinxdx
=(-π/5){[e^(-2π)*2*sinπ+e^(-2π)*(-1)]-(e^0*2*sin0+e^0*cos0)}
=(π/5)e^(-2π)+π/5.
∴曲线绕X轴旋转一周的体积为(π/5)e^(-2π)+π/5。