定积分中上下限颠倒的定积分互为相反数！这点我不明白，定积分的几何意义是当fx大于零时代表曲边梯形的

Question

定积分中上下限颠倒的定积分互为相反数！这点我不明白，定积分的几何意义是当fx大于零时代表曲边梯形的面积，那这两个面积不是相等的吗！

Answer 1

定积分∫[a,b]f(x)dx的定义是：在区间[a,b]取一些点：x1,x2,x3,...把区间[a,b]分成很多份小区间，再把每一份区间长度Δi=x(i+1)-x(i)乘以函数值f(xi)，最后把这些积全都加起来：s=∑f(xi)Δi，当所有Δi都趋于0时s的极限就是定积分lims=∫[a,b]f(x)dx，所以如果把积分上下限颠倒了，所有的Δi也都变成相反数了，结果的极限也就变成相反数了。所以∫[b,a]f(x)dx=-∫[a,b]f(x)dx追问

可是面积的值没有变啊

追答

对啊，相反数的绝对值不变，只是符号相反而已。习惯上，面积是没有负数的，积分不仅仅用来计算面积，它是一种数学运算符，就像加减乘除那样，也不是只用来计算面积的，明白了吗？