f(x,y)在平面上有连续的偏导数，且x^2+y^2=1时|f(x,y)|<=1,f(0,0)=0,

f(x,y)在平面上有连续的偏导数，且x^2+y^2=1时|f(x,y)|<=1,f(0,0)=0,I=∫∫(xfx+yfy)/(x+y)dxdy,(积分区域为x^2+y^2<=1,求证|I|<=2π(提示需用极坐标)

推荐答案 2013-05-04

昨天做过：用极坐标代换：
=∫(0,2π)dθ∫(0,1)(cosθf'x+sinθf'y)dr
由于f=f(rcosθ,rsinθ)
所以：f'r=cosθf'x+sinθf'y
故I=∫(0,2π)dθ∫(0,1)(cosθf'x+sinθf'y)dr
=∫(0,2π)dθ∫(0,1)f'rdr
=∫(0,2π)[f(cosθ,sinθ)-f(0,0)]dθ
=∫(0,2π)[f(cosθ,sinθ)]dθ
所以：|I|《∫(0,2π)|f(cosθ,sinθ)|dθ《∫(0,2π)dθ=2π‍‍‍

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