初三数学三角函数应用

Question

某气象站M附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于气象站M的东偏南α方向100千米的海面P处，并以20千米/小时的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为20千米，并以10千米/小时的速度不断增大，已知cosα=根号2/10，问几小时后该气象站开始受台风的侵袭？

Answer 1

设经过x小时后开始受到台风侵袭 此时在图中点设为Q
根据题意 MQ=20+10x PQ=20x MP=100
余弦公式 COS ∠MPQ=（MP²+PQ²-MQ²）/（2MP*PQ）=[100²+400x²-(20+10x)²]/(2*100*20x)
=(3x²-4x+96)/40x
COS ∠MPQ=COS (α-45°）=cos α cos 45° + sin α sin 45°=√2/10*√2/2+√[1-(√2/10)²]*√2/2=4/5
所以 3x²-4x+96=32x
解方程得 x=4 x=8
所以第四小时开始受侵袭追问

初中没学余弦公式

追答

嗯 那把余弦公式那步摘去 可以算出cos∠MPQ=4/5
做MR⊥PR于R MR=MP*sin ∠MPQ=100*3/5=60
PR=MP*cos ∠MPQ=100*4/5=80
RQ=PR-PQ=80-20x
在△MRQ中， MQ²=MR²+RQ²
即 （20+10x）²=(80-20x)²+60²
整理 3x²-4x+96=32x
解方程得 x=4 x=8
所以第四小时开始受侵袭

抱歉 刚才出去了

Answer 2

设经过X小时，则
台风直径扩大到 20+10X 千米，即MN=20+10X，MP=100，PN=20X
延长MN，与P点水平线相交于Q，∠NPQ=45°，PQ=NQ=PNsin45°=20X√2/2=10√2X
∠PMN=90°-α，sin(90°-α)=PQ/PM
即cosα=10√2X/100，√2/10=√2X/10，X=1 小时

好象条件太多，有矛盾。

Answer 3

1. S=4/sina , a=30,s=8; a=45,s=4√2
2.三角形ACD中:假设CD=a,则有 CB=AC=2a,tan∠CAD=1/2
AC^2=AE*ED
CD^2=DE*ED 两式相除
AE : DE=(AC:CD)^2=4:1

tan∠BAD= tan(45-∠CAD)
=(tan45-tan∠CAD)/(1+tan45tan∠CAD)
=(1-1/2)/(1+1/2)=1/3
3.MP=100，cosa=√2/10 ，PQ=NQ=MP* cosa=10√2 ，MQ=10√98
PN=PQ/cos45=10√2/(√2/2)=20,
MN=MQ-NQ=10√98-10√2
台风移动速度为20，距离为PN=20，时间T=20/20=1小时 移动到气象站M正南N处
台风半径为20，增长速度为10，那么，1小时后半径为20+10=30
比较MN=10√98-10√2和 台风半径=30，可以知道，气象站M不受台风侵袭

假设台风中心移动到N1点时气象站M受台风侵袭，经历时间为t,
很明显，PM为圆切线，MN1为圆半径R
此时，台风中心走过距离 PN1=20t , 半径R=20+10t
Q1N1=PN1*cos45=20t*√2/2=10√2t
ME=MN1*cosa=R*cosa=(20+10t)* (√2/10)=2√2+√2t
MQ=10√98=ME+Q1N1, 代入得 10√98=10√2t+2√2+√2t t≈6.25小时

Answer 4

1. S=4/sina , a=30,s=8; a=45,s=4√2
2.三角形ACD中:假设CD=a,则有 CB=AC=2a,tan∠CAD=1/2
AC^2=AE*ED
CD^2=DE*ED 两式相除
AE : DE=(AC:CD)^2=4:1