像拉格朗日定理之类的，为啥都是闭区间上连续，而开区间上可导呢？

Question

如题所述

Answer 1

因为函数在闭区间上连续要求左端点右连续、右端点左连续；而函数可导则要求函数在一点的左右导数均存在且相等，若为闭区间，则只能验证左端点是否有右导数，右端点是否有左导数，故函数在闭区间的端点处不可导。

中值定理就是函数某点或者函数的某条斜率代替原函数的定理，所以需要闭区间连续开区间可导。

扩展资料

该定理给出了导函数连续的一个充分条件。（注意：必要性不成立，即函数在某点可导，不能推出导函数在该点连续，因为该点还可能是导函数的振荡间断点。）

函数在某一点的极限不一定等于该点处的函数值；但如果这个函数是某个函数的导函数，则只要这个函数在某点有极限，那么这个极限就等于函数在该点的取值。

Answer 2

因为函数在闭区间上连续要求左端点右连续、右端点左连续；而函数可导则要求函数在一点的左右导数均存在且相等，若为闭区间，则只能验证左端点是否有右导数，右端点是否有左导数，故函数在闭区间的端点处不可导。本回答被网友采纳

Answer 3

拉格朗日定理等类似的中值定理都是关于函数在闭区间上连续和开区间上可导的条件的。这是因为这些定理中涉及到对函数在区间内的性质进行分析，闭区间上连续和开区间上可导是确保这些定理成立的重要条件。

闭区间上连续：
在闭区间上连续意味着函数在这个区间内的所有点都有定义，并且函数在这个区间内没有断点或间断。闭区间上连续是确保函数在这个区间内具有一些重要性质，如介值定理，最值定理等。

开区间上可导：
在开区间上可导意味着函数在这个区间内的每个点都存在导数。导数表示函数在某一点的瞬时变化率，它在微积分中有着重要的应用。开区间上可导是确保函数在这个区间内具有一些重要的微分学性质，如拉格朗日中值定理，柯西中值定理等。

综合考虑，闭区间上连续和开区间上可导是确保这些定理成立的条件，它们使得函数具有足够的性质，以便进行函数的分析和推导。这些定理的证明通常依赖于这些条件，因此在数学中，这些条件是非常重要的。

Answer 4

首先呢，拉格朗日中值定理和柯西中值定理都是罗尔定理的推广，罗尔定理很清楚直观的可以理解。罗尔定理有啥要求呢
首先你是不是得保证那一段曲线必须得是连续的，两端值还存在，(不能有跳跃或者无穷间断点吧)那么就要求闭区间内连续。
其次，还要求曲线是光滑的，即在这个区间内可导，这时我们想，假如要求闭区间内可导呢，这定理也是肯定成立的。
闭区间内可导，这时闭区间内也肯定连续了。即这是只要求闭区间内可导，罗尔定理就成立。但是，这个范围并不是定理成立最小要求范围。最小的成立范围要求闭区间连续，开区间可导，罗尔定理同样成立。当趋向某端点时的导数不存在时，就没法闭区间内可导，此时开区间可导，但是此时罗尔定理仍然成立的。

Answer 5

拉格朗日中值定理是一个关于连续函数在闭区间上可导的定理，而不是开区间上可导。这是因为在闭区间上，连续函数的最大值和最小值都一定存在，所以可以应用最大值和最小值的性质来推导出定理的结论。
对于开区间上可导的定理，例如柯西中值定理和洛必达法则，它们是基于导数的定义和极限的性质推导出来的。在开区间上，函数在某一点的导数是通过求取该点左右两侧的极限得到的，而不需要考虑端点处的情况。
因此，拉格朗日定理等闭区间上连续的定理和柯西中值定理等开区间上可导的定理，是基于不同的性质和条件推导出来的。在应用这些定理时，需要根据具体的情况选择合适的定理来使用。