可导是由极限推导出来的,之所以是开区间可导也是根据可导的极限表达式做出来的.
你可以这样想,如果在闭区间边界上可导,那么边界上的变化趋势怎么体现?超出闭区间的是不在
定义域内的.也就是说闭区间边界上的可导是无法描述的,也就是没有意义的.所以在一般
数学分析的教材中引入了“
邻域”的概念.
同样,在闭区间上的连续也是为极限推可导服务的.之所以是闭区间是因为这样定义的连续更明确,否则由于我们定义“邻域”时未定义“邻域”到底有多大(当然,也不可能给出邻域具体大小的定义),也就无法得知连续函数的“起点”和“终点”.能确定连续函数的“起点”和“终点”,就可以得到一些确定的特性,如
介值定理等.
与此同时,一些条件为开区间连续的函数,如果端点的极限在函数的极大极小值范围外,那么就不能用介值定理,可以考虑其他性质和解法,如构造新函数、其他方法找出符合要求的端点等.