数学基本不等式问题

Question

1.若a,b,x,y∈R+，且a+b=1,求证：（ax+by)(ay+bx)
≥xy

2.已知a,b,c都是正数，求证：a³

+b³

+c³

≥3abc

Answer 1

1、答：
a+b=1
(a+b)²=1
a²+2ab+b²=1
a²+b²=1-2ab
(ax+by)(ay+bx)

=a²xy+abx²+aby²+b²xy
=ab(x²+y²)+(a²+b²)xy
=ab(x²+y²)+(1-2ab)xy
=ab(x²+y²)-2abxy+xy
=ab(x²-2xy+y²)+xy
=ab(x-y)²+xy
∵a、b∈R+，即ab＞0，且(x-y)²≥0

∴ab(x-y)²≥0，即ab(x-y)²+xy≥xy
∴(ax+by)(ay+bx)≥xy

2、答：
证明：a^3+b^3+c^3
=(a+b)(a^2-ab+b^2)+c^3
=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3
=(a+b+c)^3-3c(a+b)(a+b+c)-3ab(a+b)
=(a+b+c)^3-3c(a+b)(a+b+c)-3ab(a+b+c)+3abc
=(a+b+c)[(a+b+c)^2-3c(a+b)-3ab]+3abc
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac-3ac-3bc-3ab)+3abc
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)+3abc
=0.5(a+b+c)(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc)+3abc
=0.5(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]+3abc≥3abc
显然当且仅当a=b=c时等号成立。

Answer 2

第一个问题：
∵（ax＋by）（ay＋bx）
＝a^2xy＋abx^2＋aby^2＋b^2xy＝（a^2＋b^2）xy＋ab（x^2＋y^2）
≧［（a＋b）^2－2ab］xy＋ab（2xy）＝（1－2ab）xy＋2abxy＝xy。
∴（ax＋by）（ay＋bx）≧xy。

第二个问题：
∵（a^3＋b^3）－（a^2b＋ab^2）
＝（a^3－a^2b）－（ab^2－b^3）＝a^2（a－b）－b^2（a－b）＝（a－b）（a^2－b^2）
＝（a－b）^2（a＋b）≧0，
∴a^3＋b^3≧a^2b＋ab^2。

运用这个结论，就有：a^3＋c^3≧a^2c＋ac^2、b^3＋c^3≧b^2c＋bc^2。
∴2（a^3＋b^3＋c^3）
＝（a^3＋b^3）＋（a^3＋c^3）＋（b^3＋c^3）
≧（a^2b＋ab^2）＋（a^2c＋ac^2）＋（b^2c＋bc^2）
＝（a^2b＋bc^2）＋（ab^2＋ac^2）＋（a^c＋b^2）
＝b（a^2＋c^2）＋a（b^2＋c^2）＋c（a^2＋b^2）
≧b（2ac）＋a（2bc）＋c（2ab）
＝6abc，
∴a^3＋b^3＋c^3≧3abc。

Answer 3

1。∵x²+y²≥2xy.
∴（ax+by）（ay+bx）
=a²xy+abx²+aby²+b²xy

=(a²+b²)xy+ab(x²+y²)

≥[(a+b)²-2ab]xy+ab·2xy
=(1-2ab)·xy+2abxy
=xy
∴(ax+by)(ay+bx)≥xy

2.∵a,b,c∈R﹢
∴a+b+c＞0
∴a³＋b³＋c³－3abc
=(a＋b)(a²-ab +b²)+c³-3abc
=(a+b)[(a+b)²-3ab]+c³-3abc
=(a+b)³-3(a+b)ab+c³-3abc
=(a+b+c)[(a+b)²+c²-(a+b)c]-3(a+b)ab-3abc
=(a+b+c)(a²+2ab+b²+c²-ac-bc)-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a²+2ab+b²+c²-ac-bc-3ab)
=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)
=1/2·(a+b+c)[(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²]≥0
∴a³+b³+c³≥3abc