求f(x)=log以2为底(4分之x)的对数乘log以2为底(2x)的对数(1小于等于x小于等于8)的值域和单调区间

Question

急急急。。。

Answer 1

f(x)=log2(x/4)·log2(2x)
=[log2(x)-log2(4)]·[log2(2)+log2(x)]
=[log2(x)-2]·[1+log2(x)]
=[log2(x)]²-log2(x)-2，
设u=log2(x)，则f(u)=u²-u-2=(u-1/2)²-9/4，
∵u=log2(x)在[1，8]上是增函数，∴u∈[0，3]，
∴f(u)在u∈[0,1/2]上单减，在u∈[1/2,3]上单增，
∵u=1/2时，x=2^(1/2)=√2，
∴f(x)在[1,√2]上是减函数，在[√2,3]上是增函数。
当x=√2时，f(x)有最小值=-9/4，
当x=8时，f(x)有最大值=4，
故f(x)的值域是[-9/4，4]。

Answer 2

因f(x)=log2(x/4)log2(2x)
=[log2(x)-2][1+log2(x)]
=[log2(x)]^2-log2(x)-2
=[log2(x)-1/2]^2-9/4
而1≤x≤8，即0≤log2(x)≤3
则-9/4≤f(x)≤4

令g(x)=log2(x)，显然g(x)为增函数，且当1≤x≤8时，0≤g(x)≤3
令h(x)=(x-1/2)^2-9/4，其开口向上，对称轴为x=1/2，则当x≤1/2为增函数，当x>1/2为减函数
由于f(x)是由g(x)与h(x)复合而成，即f(x)=h[g(x)]
则当0≤log2(x)≤1/2即1≤x≤√2时，f(x)为增函数
当1/2≤log2(x)≤3即√2≤x≤8时，f(x)为减函数
所以单调增区间为[1，√2]，单调减区间[√2，8]本回答被提问者采纳