设函数f(x)在上[0,a]连续,在(0,a)内可导,且f(a)=0,证明：在(0,a)中至少存在

Question

设函数f(x)在上[0,a]连续,在(0,a)内可导,且f(a)=0,证明：在(0,a)中至少存在一点ξ,使3f(ξ)+ξf'(x)=0【注意看式子！！！】多谢

Answer 1

证：
构造函数F(x)=x³·f(x)，则F(x)在[0，a]上连续，在(0，a)内可导。
F(0)=0³·f(0)=0，F(a)=a³·f(a)=0
F'(x)=3x²·f(x)+x³·f'(x)
由罗尔中值定理得，在(0，a)内，至少存在一点ξ，使得
F'(ξ)=[F(a)-F(0)]/(a-0)=(0-0)/a=0
F'(ξ)=3ξ²·f(ξ)+ξ³·f'(ξ)=0
ξ²[3f(ξ)+ξ·f'(ξ)]=0
ξ∈(0，a)，ξ≠0，因此只有3f(ξ)+ξ·f'(ξ)=0
即：在(0，a)内，至少存在一点ξ，使得3f(ξ)+ξ·f'(ξ)=0

此类题目的难点其实是一开始如何构造合适的函数，首要的问题解决了，后面只是运用中值定理计算而已。

Answer 2

令g(x)=x^3f(x)，g'(x)=(3f(x)+xf'(x))x^2。
由于g(0)=g(a)=0，由罗尔定理必存在ξ使g'(ξ)=0，即3f(ξ)+ξf'(x)=0