1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+.........n*(n+1)等于n(n+1)(n+2)/3。
解:令数列an=n*(n+1),
那么1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+.........n*(n+1)即为数列an前n项和Sn。
又因为an=n*(n+1)=n^2+n,
那么Sn=1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+.........n*(n+1)
=1^2+1+2^2+2+3^2+3+...+(n-1)^2+(n-1)+n^2+n
=(1^2+2^2+3^2+...+n^2)+(1+2+3+...+n)
又根据平方和公式1^2+2^2+3^2+...+n^2=n*(n+1)*(2n+1)/6可得,
Sn=(1^2+2^2+3^2+...+n^2)+(1+2+3+...+n)
=n*(n+1)*(2n+1)/6+n*(n+1)/2
=n(n+1)(n+2)/3
即数列anan前n项和Sn=n(n+1)(n+2)/3。
扩展资料:
1、数列的分类
数列可分为有穷数列和无穷数列、周期数列、常数数列等类型。
2、数列的公式
(1)通项公式
数列的第N项an与项的序数n之间的关系可以用一个公式an=f(n)来表示,这个公式就叫做这个数列的通项公式。
例:an=3n+2
(2)递推公式
如果数列an的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的递推公式。
例:an=a(n-1)+a(n-2)
参考资料来源:百度百科-数列
解法一:
1×2+2×3+3×4+...+n(n+1)
=⅓×[1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+3×4×5-2×3×4+...+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]
=⅓n(n+1)(n+2)
解法二:
考察一般项第k项,k(k+1)=k²+k
1×2+2×3+3×4+...+n(n+1)
=(1²+2²+3²+...+n²)+(1+2+3+...+n)
=n(n+1)(2n+1)/6 +n(n+1)/2
=[n(n+1)/6](2n+1+3)
=n(n+1)(2n+4)/6
=⅓n(n+1)(n+2)
扩展资料:
数列求和方法
1、分组求和:把一个数列分成几个可以直接求和的数列。
2、拆项相消:有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式,相加过程消去中间项,只剩有限项再求和。
3、错位相减:适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和。
4、倒序相加:例如,等差数列前n项和公式的推导。
注意事项
1、直接用公式求和时,注意公式的应用范围和公式的推导过程。
2、重点通过数列通项公式观察数列特点和规律,在分析数列通项的基础上,判断求和类型,寻找求和的方法,或拆为基本数列求和,或转化为基本数列求和。
3、求和过程中同时要对项数作出准确判断.含有字母的数列求和,常伴随着分类讨论。
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