求高人几个微积分计算极限的过程。

Question

如题所述

Answer 1

(3)
解答：
3^x 的导数 = (3^x)ln3
2^x 的导数 = (2^x)ln2
当x→-∞,3^x→0,2^x→0
原极限是 0/0 型的不定式，用罗毕达方法得：
分子变成：[1/(1+3^x)](3^x)ln3
分母变成：[1/(1+2^x)](2^x)ln2
原式=lim[1/(1+3^x)](3^x)ln3/[1/(1+2^x)](2^x)ln2
x→-∞
=lim[(1+2^x)](3^x)ln3/[(1+3^x)](2^x)ln2
x→-∞
=lim(3^x)ln3/(2^x)ln2
x→-∞
=lim[(3/2)^x]ln3/ln2
x→-∞
∵ 3/2 > 1
∴ (3/2)^(∞) = ∞, (3/2)^(-∞) = 0
∴ 原式 = 无穷小×常数 = 0

(4)
解答：
设 y = (tanx)^tan2x
∴ ln y = (tan2x)lntanx
= [(sin2x)/(cos2x)]lntanx
当 x→π/4时，sin2x → sinπ/2 = 1

∴ lim ln y = lim (lntanx)/cos2x
x→π/4 x→π/4
右式是0/0型，用罗毕达方法，得：
lim ln y = lim (cotx)(sec²x)/(-2sin2x)
x→π/4 x→π/4
=1×2/(-2)=-1

∴ y = e^(-1)
即：原极限 = e^(-1)

Answer 2

(1)
解答：
因为，tanx
与
x
是等价无穷小，
lim
tan²x/x²
（0/0
型不定式）
x→0
=lim
2tanxsec²x/2x
(运用了罗毕达方法)
x→0
=lim
tanxsec²x/x
x→0
=lim
tanx/x
×
lim
sec²x
x→0
x→0
=lim
tanx/x
×
1
(运用了无穷小代换)
x→0
=lim
x/x
=
1
x→0
(2)
解答：
运用重要极限：
lim
(1
+
1/x)^x
=
e
x→∞
注意：
a、括号内是(1+无穷小)，括号外的指数是∞；
b、1加上的无穷小要和指数的∞完全是倒数关系。
现在括号内是：1
+
无穷小，这个无穷小是
-2/x
所以，指数必须配上一个
x/(-2）,才能得到
e.
原来的指数是
x，现在配成了
-2/x，所以，必须再在方括号外配上-2幂次，
否则原题目就被篡改了。方括号内是
e，方括号外的幂次是-2,
就得到了答案。