若非零函数f(x)对任意实数a,b均有f(a+b)=f(a)·f(b),且当x<0时,f(x)>1。

Question

求证：f(x)＞0
求证：f(x)为减函数
若f(4)=1/16，求不等式f(x-3)·f(5-x²)≤1/4的解集
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Answer 1

(1)求证：f(x)>0
既然 对任意实数a,b均有f(a+b)=f(a)·f(b)，则有
f(a + a) = f(a) * f(a)
f(x) = [f(x/2)]^2 ≥ 0 恒成立。
如能进一步证明 对定义域任意x f(x) ≠ 0， 恒成立。则 f(x) > 0 成立。
采用反证法：
假设存在 x0, f(x0) = 0
那么对任意 x，f(x) = f(x - x0)*f(x0) = 0
这与 f(x) 为非0函数矛盾。因此 不存在 x0 ，使得 f(x0) = 0
综上所述：f(x) > 0
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(2)求证:f(x)为减函数
设 x2 > x1
f(x1) - f(x2)
= f(x1 - x2 + x2) - f(x2)
= f(x1 - x2)*f(x2) - f(x2)
= [f(x1 - x2) - 1]*f(x2)

x1 - x2 < 0 ，而已知 x<0 时, f(x) > 1。因此
f(x1 - x2) - 1 > 0
同时已知 f(x) 恒大于0。即 f(x2) > 0
因此
f(x1) - f(x2) = [f(x1-x2) -1]f(x2) > 0
即对定义域内任意 x2 > x1，恒有 f(x2) - f(x1) < 0
因此 f(x) 函数是 减函数
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(3)当f(4)=1/16 时，解不等式f(x-3)·f(5-x^2)≤1/4

f(4) = 1/16，所以
f(4) = f(2+2) = f(2)*f(2) = 1/16
根据 f(x) > 0 ，舍去 f(2) = -1/4
f(2) = 1/4

根据 f(a)*f(b) = f(a+b)，则
f(x-3)*f(5-x^2) = f(2 + x - x^2) ≤ 1/4 = f(2)
根据 f(x) 是减函数，则
2 + x - x^2 ≥ 2
x^2 - x ≤ 0
x(x-1) ≤ 0
0 ≤ x ≤ 1
参考资料：实际上 ，底数 小于1 的指数型函数 恰好 满足f(x)的各种性质追问

为什么f(x) = [f(x/2)]^2 ≥ 0 恒成立。