商，是“商议、商讨”“商贾、行商”的“商”，这两方面的意义是相通的——商议需要讨论、交流，商贾做生意也需要在价钱上进行讨论、交流。
除法与加、减、乘法的计算很不相同——无论在计算方法、书写形式、计算过程上都不同，加、减、乘法都是直接加、减、乘，除法的计算却还包含着乘和减，计算过程中还需要“试商”——这不是在“商讨”吗？从中意义上就把计算除法的过程和结果称为“商”
对于形式如下的除法运算式，
a ÷ b = c (或 a / b = c ) ①
来说， a 称为
被除数，b 称为 除数，c 称为 商。
当 a、b、c 同属于 实数域 R（或 有理数域 Q，或 复数域 C） 时，除法可定义为乘法的逆运算，即，
a ÷ b = c ≡ a × b⁻¹ = c ②
其中，b⁻¹ 称为 b 的逆元（
《中学数学》中称为 倒数），其满足：
b × b⁻¹ = b⁻¹ × b = 1
显然，由于 0 乘任何数都是 0，所有 0 不存在逆元，进而 0 不能作为被除数。
当 a、b、c 均来自 整数环 Z 时， 因为 除了 1 外 任何整数的 倒数都不是 整数，故，除了 1 外 任何整数都没有逆元，所以 我们不能像 ② 式 这样定义 ①。但，可以证明：
对于任意 整数 a、b 必然存在唯一的一对整数 c、r 满足：
a = c×b + r, 0 ≤ r < |b| （当 b|a 时 r = 0）
注：b|a 表示 b 整除 a。
于是，我们将 ① 改写为：
a ÷ b = (c, r) （或 a ÷ b = c 余 r） ①'
称 为 带
余数除法，其中 a、b、c 称谓不变，r 称为 余数。