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    • 设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续在(0,1)内可导且f(0)=f(1)=1,证明在(0,1)内至少存

    设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=f(1)=1,证明在(0,1)内至少存一点ζ，使得f′（ζ）+f(ζ)=1

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    推荐答案   推荐于2018-03-20
    考虑e^x(f(x)-1)，在闭区间[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且e^0(f(0)-1)=e^1(f(1)-1)=0，故在(0,1)内至少存一点ζ，使得
    ((e^x(f(x)-1))'|x=ζ)=0，
    即
    e^ζ(f(ζ)+f'(ζ)-1)=0，
    即
    f(ζ)+f'(ζ)=1。
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