高数问题。为什么偏导数的几何意义是曲面在一点的切线。。那为什么法向量也用偏导求

Question

如题所述

Answer 1

因为曲面延法线方向的增量为零，而曲面方程的形式是F（x,y,z）=0时，和恒为零，其偏导在几何上正是使增量为零的那个方向，也就是要求的法线。而曲面方程的参数方程形式和z=f(x,y)这种形式则不满足此条件，此时求导所求即为切线。可以尝试这样理解，前者是几个变量同步变化时恒满足一个约束条件，而后者是每个变量按照一定的关系随其它的变量变化，这是两种不同的形容，因此求导的结果也是不同的。前者的求导结果满足一个约束，后者的求导结果代表一种随之变化的关系。

Answer 2

一元函数的导数在二维空间中表示切线斜率，二元函数的偏导在三维空间中也表示切线斜率。你所谓的曲面偏导，其实是4元函数偏导，在三维空间不是切线斜率很正常。
比如说直线x/a=y/b=z/c,(a,b,c)是直线的方向向量，也是直线的斜率（也就相当于切线斜率），而平面ax+by+cz=0中（a,b,c）表示平面的法向量，在这两个图形中，可以把x/a=y/b=z/c看成平面的一条法线，设F(x,y,z)=ax+by+cz，对这个函数x,y,z分别求偏导，求出来就是(a,b,c）既是直线的斜率，又是平面的法向量。虽然这么解释很牵强，不过确实是个好理解的记忆方法

Answer 3

不知你现在学到那个章节，粗略说来可以这么理解：因为这两者之间关系密切，互相垂直。学到空间解析几何部分，就很容易知道，他们的关系，可以由偏导数写出切平面方程，而由切平面方程也可以很容易写出法向量。追问

学到曲面积分了。。还是不懂为什么切向量和法向量都用偏导。。

追答

从简单的思维入手，由平面推广到立体：
在平面解析几何中，导数可以求斜率，也可以求法线方向
推而广之，偏导数实际上是把立体的图像放在对应平面来处理，三个偏导数分别表示在yoz,zox,xoy 平面的斜率，也可以以此推出在yoz,zox,xoy 平面的法线，三个偏导数合起来共同形成完成的立体切平面和法向量

追问

好吧。。虽然还是很迷糊。。

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Answer 4

个人认为有说明他们之间的关系的话，其实你没有几个人能说得清楚，能说得清楚的话也是那样云里雾里。个人建议。用带有理解性的记忆，更有价值。曲线偏导数是切向量，曲线偏导数法向量 (相对于一点，360度无死角，旋转偏头方向一个轴的偏导合成近似一条垂直的线)

Answer 5

同学，偏导数是界面曲线对某轴的斜率，不是切线。
看清楚啊，第六版66页