余弦定理 |c|*2=a*2+b*2-2abcosc 的推导过程

Question

如题所述

Answer 1

不知道你学了向量没，否则余弦定理的证明非常简单，先看向量法证明：

如图

∵a=b-c   

∴a^2=(b-c)^2 （证明中a,b,c皆为向量，^2为平方）

拆开即a^2=b^2+c^2-2bc

再拆开，得|a|^2=|b|^2+|c|^2-2|b||c|CosA

同理可证其他。

平面几何证法：

在任意△ABC中

做AD⊥BC.

∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a

则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

根据勾股定理可得：

AC^2=AD^2+DC^2

b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2

b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosB

b^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2

b^2=c^2+a^2-2ac*cosB

cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac