a^n+b^n怎么展开

Question

a^n+b^n ,a^n-b^n公式
这两个因式分解是怎么来的,已经知道如何分解只想知道由来,并帮忙研究奇偶如何分解的讨论
换句话说就是a^n-b^n=(a-b)(a^(n-1)+a^(n-2)b+.....+b^(n-1)) (n为正整数)
a^n+b^n=(a+b)(a^(n-1)-a^(n-2)b+......+b^(n-1)) (n为正奇数)
p^n+1为偶数,即至少有一个因子2 (p为大于2的素数,n为正偶数时)
这几个式子是怎么推导出来的

Answer 1

可以考虑按等比数列前n项和的求和公式来推导：
s=1+x+x^2+...+x^n-1=(1-x^n)/(1-x)
于是，1-x^n=(1-x)(1+x+x^2+...+x^n)
a^n-b^n=a^n[1-(b/a)^n]，中括号里为公比为b/a的等比数列前n项和，即
a^n-b^n=(a-b)(a^(n-1)+a^(n-2)b+.....+b^(n-1))
而a^n+b^n当n为奇数时可以看做是a^n-(-b)^n，再带入上面公式即可求出，但当n为偶数时，不能带入上面公式，故无法分解。

Answer 2

前提:实数范围内分解
n需要分为偶数和奇数来分别分析:
(1)n是偶数:
a^n+b^n不能分解
a^n-b^n至少有(a+b)(a-b)的因子
(2)n是奇数
a^n+b^n至少有(a+b)的因子
a^n-b^n至少有(a-b)的因子
分析:
令a/b=x
a^n+b^n=b^n*[x^n+1]
a^n-b^n=b^n*[x^n-1]
当n为偶数时,x^n+1=0无解,x^n-1=0至少有1,-1两个根
当n为奇数时,x^n+1=0至少有-1一个根,x^n-1=0至少有1两个根

Answer 3

二项式与因子的乘法二项式与因子 c 的乘法可以根据分配律计算：(a+b)c=ac+bc二项式间的乘法两个二项式 a+b 与 c+d的乘法可以通过两次分配率得到：(a+b)(c+d)=a(c+d)+b(c+d)=ac+ad+bc+bd 两个线性二项式 ax+b 与 cx+d 的乘积为：(ax+b)(cx+d)=ac x^2+(ad+bc)x+bd二项式的平方二项式 a+b 的平方为(a+b)^2=a^2+2ab+b^2二项式 a-b的平方为(a-b)^2=a^2-2ab+b^2二项式的幂(a+b)^n的二项式 a + b的 n次幂可以用二项式定理或者等价的杨辉三角形展开二次项定理 ：
a+b)n次方＝C(n,0)a(n次方)+C(n,1)a（n-1次方）b（1次方）+…+C（n,r）a(n-r次方)b(r次方)+…+C(n,n)b(n次方)(n∈N*)
C(n,0)表示从n个中取0个，这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a+b)n的二次展开式，其中的系数Cnr(r＝0,1,……n)叫做二次项系数，式中的Cnran-rbr.叫做二项展开式的通项，用Tr+1表示，即通项为展开式的第r+1项：Tr+1＝Cnraa-rbr.

说明 ①Tr+1＝cnraa-rbr是(a+b)n的展开式的第r+1项.r＝0,1,2,……n.它和(b+a)n的展开式的第r+1项Cnrbn-rar是有区别的.
②Tr+1仅指(a+b)n这种标准形式而言的，(a-b)n的二项展开式的通项公式是Tr+1＝(-1)rCnran-rbr.
③系数Cnr叫做展开式第r+1次的二项式系数，它与第r+1项关于某一个(或几个)字母的系数应区别开来.
特别地，在二项式定理中，如果设a＝1,b＝x，则得到公式：
(1+x)n＝1+cn1x+Cn2x2+…+Cnrxa+…+xn.
当遇到n是较小的正整数时，我们可以用杨辉三角去写出