试卷类型：A
2010年广州市普通高中毕业班综合测试（一）
数 学（文科）
2010．3
本试卷共4页，21小题， 满分150分． 考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校，以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题（或题组号）对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．
5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
参考公式：锥体的体积公式 ，其中 是锥体的底面积， 是锥体的高．
球的体积公式 ，其中 是球的半径．
两数立方差公式 ．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数 的共轭复数是
A． B． C． D．
2．不等式 的解集为
A． B．
C． D．
3．设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点 ，球面上有两个点 ， 的坐标分别为 ， ，则
A．18 B．12 C． D．
4．已知 ，则 的值为
A． B． C． D．
5．已知 ：直线 与平面 内无数条直线垂直， ：直线 与平面 垂直．则 是 的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．在棱长为2的正方体 中，点 为底面 的中心，在正方体
内随机取一点 ，则点 到点 的距离大于1的概率为
A． B． C． D．
7．根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20—80 mg/100ml（不含80）之间，属于酒后驾车，处暂扣一个月以上三个月以下驾驶证，并处200元以上500元以下罚款；血液酒精浓度在80mg/100ml（含80）以上时，属醉酒驾车，处十五日以下拘留和暂扣三个月以上六个月以下驾驶证，并处500元以上2000元以下罚款．
据《法制晚报》报道，2009年8月15日至8
月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共
28800人，如图2是对这28800人血液中酒
精含量进行检测所得结果的频率分布直方
图，则属于醉酒驾车的人数约为
A．2160 B．2880
C．4320 D．8640
8．在 中，点 在 上，且 ，点 是 的中点，若 ， ，则
A． B． C． D．
9．已知函数 若 在 上单调递增，则实数 的取值范围为
A． B． C． D．
10．如图3所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，
它们是由整数的倒数组成的，第 行有 个数且两端
的数均为 ，每个数是它下一行左右相邻两数
的和，如 ， ， ，…，
则第7行第4个数（从左往右数）为
A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．
（一）必做题（11～13题）
11．在等比数列 中， ，公比 ，若 ，则 的值
为 ．
12．某算法的程序框如图4所示，若输出结果为 ，则输入的实数
的值是________．
（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成 “←”“：=”）
13．在△ 中，三边 、 、 所对的角分别为 、 、 ，
若 ，则角 的大小为 ．
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）
14．（几何证明选讲选做题）如图5, 是半圆 的直径,点 在
半圆上, ，垂足为 ，且 ,设 ,
则 的值为 .
15．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知两点 、 的极坐标分别为 ， ，则△ （其中 为极点）的面积为 ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知函数 （其中 ， ）．
（1）求函数 的最小正周期；
（2）若点 在函数 的图像上，求 的值．
17．（本小题满分14分）
如图6，正方形 所在平面与三角形 所在平面相交于 ， 平面 ，且 ， ．
（1）求证： 平面 ；
（2）求凸多面体 的体积．
18．（本小题满分12分）
已知直线 ： ，直线 ： ，其中 ， ．
（1）求直线 的概率；
（2）求直线 与 的交点位于第一象限的概率．
19．（本小题满分14分）
已知动点 到定点 的距离与点 到定直线 ： 的距离之比为 ．
（1）求动点 的轨迹 的方程；
（2）设 、 是直线 上的两个点，点 与点 关于原点 对称，若 ，求 的最小值．
20．（本小题满分14分）
已知函数 在 上是减函数，在 上是增函数，函数 在 上有三个零点，且1是其中一个零点．
（1）求 的值；
（2）求 的取值范围；
（3）试探究直线 与函数 的图像交点个数的情况，并说明理由．
21．（本小题满分14分）
已知数列 满足对任意的 ，都有 ，且 ．
（1）求 ， 的值；
（2）求数列 的通项公式 ；
（3）设数列 的前 项和为 ，不等式 对任意的正整数 恒成立，求实
数 的取值范围．
2010年广州市普通高中毕业班综合测试（一）
数学（文科）试题参考答案及评分标准
说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．
2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D C C B B C A C A
二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．
11．7 12． 13． （或 ） 14． 15．3
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
（本小题主要考查三角函数性质和三角函数的基本关系等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）
（1）解：∵ ，
∴函数 的最小正周期为 ．
（2）解：∵函数 ，
又点 在函数 的图像上，
∴ ．
即 ．
∵ ，∴ ．
17．（本小题满分14分）
（本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）
（1）证明：∵ 平面 ， 平面 ，
∴ ．
在正方形 中， ，
∵ ，∴ 平面 ．
∵ ，
∴ 平面 ．
（2）解法1：在 △ 中， ， ，
∴ ．
过点 作 于点 ，
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ ．
∵ ，
∴ 平面 ．
∵ ，
∴ ．
又正方形 的面积 ，
∴
．
故所求凸多面体 的体积为 ．
解法2：在 △ 中， ， ，
∴ ．
连接 ，则凸多面体 分割为三棱锥
和三棱锥 ．
由（1）知， ．
∴ ．
又 ， 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ．
∴点 到平面 的距离为 的长度．
∴ ．
∵ 平面 ，
∴ ．
∴ ．
故所求凸多面体 的体积为 ．
18．（本小题满分12分）
（本小题主要考查概率、解方程与解不等式等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）
（1）解：直线 的斜率 ，直线 的斜率 ．
设事件 为“直线 ”．
， 的总事件数为 ， ，…， ， ， ，…， ，…， ， 共36种．
若 ，则 ，即 ，即 ．
满足条件的实数对 有 、 、 共三种情形．
所以 ．
答：直线 的概率为 ．
（2）解：设事件 为“直线 与 的交点位于第一象限”，由于直线 与 有交点，则 ．
联立方程组 解得
因为直线 与 的交点位于第一象限，则
即 解得 ．
， 的总事件数为 ， ，…， ， ， ，…， ，…， ， 共36种．
满足条件的实数对 有 、 、 、 、 、 共六种．
所以 ．
答：直线 与 的交点位于第一象限的概率为 ．
19．（本小题满分14分）
（本小题主要考查椭圆、基本不等式等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）
（1）解：设点 ，
依题意，有 ．
整理，得 ．
所以动点 的轨迹 的方程为 ．
（2）解：∵点 与点 关于原点 对称，
∴点 的坐标为 ．
∵ 、 是直线 上的两个点，
∴可设 ， （不妨设 ）．
∵ ，
∴ ．
即 ．即 ．
由于 ，则 ， ．
∴ ．
当且仅当 ， 时，等号成立．
故 的最小值为 ．
20．（本小题满分14分）
（本小题主要考查函数、导数、方程等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力）
（1）解：∵ ，∴ ．
∵ 在 上是减函数，在 上是增函数，
∴当 时， 取到极小值，即 ．
∴ ．
（2）解：由（1）知， ，
∵1是函数 的一个零点，即 ，∴ ．
∵ 的两个根分别为 ， ．
∵ 在 上是增函数，且函数 在 上有三个零点，
∴ ，即 ．
∴ ．
故 的取值范围为 ．
（3）解：由（2）知 ，且 ．
要讨论直线 与函数 图像的交点个数情况，
即求方程组 解的个数情况．
由 ，
得 ．
即 ．
即 ．
∴ 或 ．
由方程 ， （*）
得 ．
∵ ，
若 ，即 ，解得 ．此时方程（*）无实数解．
若 ，即 ，解得 ．此时方程（*）有一个实数解 ．
若 ，即 ，解得 ．此时方程（*）有两个实数解，分别为 ， ．
且当 时， ， ．
综上所述，当 时，直线 与函数 的图像有一个交点．
当 或 时，直线 与函数 的图像有二个交点．
当 且 时，直线 与函数 的图像有三个交点．
21．（本小题满分14分）
（本小题主要考查数列通项、求和与不等式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识）
（1）解：当 时，有 ，
由于 ，所以 ．
当 时，有 ，
将 代入上式，由于 ，所以 ．
（2）解：由于 ， ①
则有 ． ②
②－①，得 ，
由于 ，所以 ． ③
同样有 ， ④
③－④，得 ．
所以 ．
由于 ，即当 时都有 ，所以数列 是首项为1，公差为1的等差数列．
故 ．
（3）解：由（2）知 ，则 ．
所以
．
∵ ，∴数列 单调递增．
所以 ．
要使不等式 对任意正整数 恒成立，只要 ．
∵ ，∴ ．
∴ ，即 ．
所以，实数 的取值范围是 ．
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