三角形内角和为180°，这其实是平面几何的必然结果，也是《几何原本》中第五公设的推论；如果离开了平面几何，比如在一些曲面上，三角形的内角和是可以不等于180°的。
我们有很多方法，来证明平面内三角形内角和为180°，也就是一个平角的角度，但是无论我们用到什么方法，本质上都用到了欧几里得第五公设或者是第五公设的等价原理。
这其中隐含的原理，数学家们探索了两千多年，如果你不使用第五公设（或者等价原理），你是不可能证明三角形内角和为180°的。
公元前300年前后，著名古希腊数学家欧几里得创作了《几何原本》，书中以23条定义、五个公理和五个公设为基础，以严密的数学逻辑推导出467个定理，奠定了平面几何的基础。
公理是指人类根据现实经验得出，无需自证的基本事实，《几何原本》中的五个公理包括：
1.等于同量的量彼此相等。
2.等量加等量，和相等。
3.等量减等量，差相等。
4.彼此重合的图形是全等的。
5.整体大于部分。
公设也是指无需自证的基本事实，但是相比于公理来说，公设更有深度一些，近代数学中公设等价于公理，《几何原本》中的五个公设包括：
1.过两点能作且只能作一条直线。
2.线段可以无限延长。
3.以任一点为圆心，任意长为半径可作一圆。
4.直角都相等。
5.平面内一条直线和两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于180°，则这两条直线无限延长后在这一侧一定相交。
五个公设中的前四个很容易理解，基本上也不会有争议，但是大名鼎鼎的第五公设可折腾了数学家两千多年，因为第五公设看起来怎么也不像不证自明，虽然欧几里得极尽减少第五公设的语言描述，但是第五公设比前面四个公设加起来还长。
由于第五公设本质上与“平行线不相交”等价，所以第五公设也叫做平行公设，历史上有很多人试图用前面四个公设来证明第五公设，但都失败了。虽然有一些人宣称完成了证明，但是在证明过程中，都不经意地引入了第五公设的等价命题，比如平行线不相交、三角形内角和为两个直角等等。
欧几里得在著作《几何原本》时，肯定也注意到了这个问题，相信他也做过类似的尝试，以至于第五公设在《几何原本》中直到命题29才首先被使用，而且这个命题必须得使用第五公设才能完成证明。
命题29：一条直线与两条平行直线相交，则所成的内错角相等，同位角相等，且同旁内角之和等于180°。
在1795年，英国数学家普莱费尔提出了一条和第五公设等价的描述，既“过直线外一点，能且只能做一条平行线”，该描述比《几何原本》中的描述简单很多，被称作普莱费尔公理。
直到1868年，意大利数学家贝尔特拉米，才首先证明第五公设独立于前面四条公设，而且第五公设的否定描述也是自洽的，也就是说欧氏几何与非欧几何是两个不同的几何系统。
其实早在贝尔特拉米之前，俄罗斯数学家罗巴切夫斯基就已经发现了第五公设不可证，现在我们把非欧几何中的双曲几何，也称作罗巴切夫斯基几何。
在同一时期，德国数学家黎曼从第五公设的另外一个反面出发，创立了椭圆几何，也称作黎曼几何，于是黎曼几何与罗巴切夫斯基几何共同称作非欧几何，它们的区别在于：
1、欧氏几何，也称作平面几何，第五公设成立，平面内三角形内角和等于180°，过直线外一点可以做一条平行线。
2、黎曼几何，也称作椭圆几何，第五公设不成立，平面内三角形内角和大于180°，过直线外一点找不到任何一条与之平行的直线。
3、罗巴切夫斯基几何，也称作双曲几何，第五公设不成立，平面内三角形内角和小于180°，过直线外一点至少可以做两条平行线。
现在我们知道，数学家争论了上千年的第五公设，本来就是一个独立的公理，而这个独立公理的反面也是一个公理，从不同的公理出发可以得到不同的数学系统，这也是第五公设不可证的本质原因，从第五公设反面建立起来的非欧几何，也是广义相对论的数学基础。
这其中隐含的数学思想是非常深刻的，数学中还存在很多类似的原理，比如在1900年，德国数学家希尔伯特提出了23个数学问题，排第一的是连续统假设，直到几十年后，数学家才证明连续统假设也是独立的，而连续统假设的反面，则是另外一个自洽的数学系统。
“三角形的内角和等于180度”
这是一个几乎每个人都知道的数学公理，所谓公理，不证自明也，因此关于三角形内角和为什么是180度这个问题，其实并没有什么探讨的意义，就像1+1=2一样没有意义。
但本文将从物理学乃至宇宙学的角度，重新让你认知“三角形内角和等于180度”这句话。
首先要明白，为什么日常生活中看到的三角形内角和都是180度？
答案很简单，因为现实中的三角形都存在于一个平直的二维平面上，比如电脑屏幕或者纸张，这些东西没有任何曲率，所以上面的三角形各个角的度数，也不会发生畸变，这样一来，我们日常生活中看到的三角形内角和就是180度。
它不是什么巧合，只是一种在二维平面上的固定表现而已，但我们的宇宙是个四维时空宇宙，所以三角形的内角和并不总是180度。
在目前这个四维时空宇宙，光是最精确的“标尺”，利用激光测距，人类可以测出月球和地球的距离，而利用遥远恒星发出的光，科学家们就能知道他们距离地球有多远，但在爱因斯坦之前很少有人想过，我们这个时空并不是表面上看的那么平直。
在1916年正式发表的广义相对论中，引力被表述成了“大质量天体扭曲时空，造成的几何跌落效应”，从此人们才意识到，宇宙时空是可以被质量扭曲的。
而光在宇宙中，只会沿着测地线（最短线路）飞，因此当天体扭曲时空后，光的飞行路线也会扭曲，而如果天体的质量极大，那么光就会扭曲成一个闭环，也就是黑洞。
目前最精确的宇宙微波背景辐射图表明，我们的在大尺度上并不完全“平直”，而是存在微小翘曲的，这意味着“全宇宙”在大尺度上，很可能是一个闭合超球体，或者一个马鞍面。
如果宇宙是一个闭合的四维超球体或者马鞍面，那么光在这个宇宙中飞行的时候，就会因为时空的弯曲而弯曲。
造成的结果就是：如果用三个相隔数百亿光年的星系作为三角形的三个顶点，然后再用激光把这三个顶点连接起来，那么这个“超级三角形”的内角和就会大于或者小于180度，因为连接这个三角形的三条激光，在飞行途中，已经因为时空的曲率而弯曲了，丧失了原来的笔直。
归根结底，我们的宇宙是一个广义相对论描述下的“非平直时空”，在这个时空里，物质会让时空和光线发生不可避免的扭曲与偏折，因此三角形的内角和并不总是180度。
而我们熟知的内角和为180度的三角形，本质上只存在于“欧式几何理想空间”，因为只有那里有绝对平直的环境。