如图，已知△ABC是等边三角形，D为AC上一个动点，延长AB至E，使BE=CD，连接DE交BC与点F。

Question

如图，已知△ABC是等边三角形，D为AC上一个动点，延长AB至E，使BE=CD，连接DE交BC与点F。
（1）求证：DF=EF；
（2）若△ABC的边长为m，BE=n，且m、n满足（m-5）^2=4（n-1）-n^2，求BF的长。

Answer 1

(1)、过点D作DG∥AB，交CF于G

∵△ABC是等边三角形，DG∥AB

∴△CDG也是等边三角形，∠GDF=∠BEF，∠DGF=∠EBF

∵BE=CD

∴BE=DG

∴△DGF≌△EBF(ASA)

∴DF=EF

(2)、由(1)可知：BF=FG

∵AB=BC=AC=m，CD=BE=n

∴CG=DG=n

∴BF=(BC-CG)/2=(m-n)/2

∵(m-5)²=4(n-1)-n²

             =-(n²-4n+4)

             =-(n-2)²

∴(m-5)²+(n-2)²=0

∴(m-5)²=0且(n-2)²=0

∴m=5，n=2

∴BF=(m-n)/2=(5-2)/2=3/2