一元二次方程根与系数的关系

Question

已知关于x的方程x²+(2k+1)x+k²-2=0有两个实数根x1,x2,且x1²+x2²=11,求k的值。求详细解答过程

Answer 1

【参考答案】

①方程有2个实数根：
△=(2k+1)^2 -4(k^2 -2)≥0
4k^2 +4k+1-4k^2 +8≥0
4k≥-9
k≥-9/4
②根据韦达定理得：
x1+x2=-2k-1，x1x2=k^2 -2
所以 x1^2+x2^2
=(x1+x2)^2 -2x1x2
=(-2k-1)^2 -2(k^2 -2)
=4k^2 +4k+1-2k^2+4
=2k^2+4k+5
=11
则 2k^2+4k-6=0
即 k=1或-3（舍去）
于是，k的值是1
欢迎追问。。追问

在x1+x2时的那一步根据韦达定理得到-2k-1 【我没写成-(2k+1)的形式为什么就错了】把-2k-1 代入x1平方+x2平方时得到2k平方-4k-6请问我这样的思路哪里有不对请指点满意的话增加悬赏

追答

...

Answer 2

解：
因方程有二根，所以
（2k+1)²-4(k²-2)≥0
即4k²+4k+1-4k²+8≥0
4k≥-9
解得k≥-9/4

x1+x2=-(2k+1)
x1x2=k²-2
x1²+x2²
=(x1+x2)²-2x1x2
=(-(2k+1))²-2(k²-2)
=4k²+4k+1-2k²+4=11
即2k²+4k-6=0
2(k-1)(k+3)=0
解得k=1或k=-3(不合）
综上可得k值为1

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在x1+x2时的那一步根据韦达定理得到-2k-1 【我没写成-(2k+1)的形式为什么就错了】把-2k-1 代入x1平方+x2平方时得到2k平方-4k-6请问我这样的思路哪里有不对请指点

在x1+x2时的那一步根据韦达定理得到-2k-1 【我没写成-(2k+1)的形式为什么就错了】把-2k-1 代入x1平方+x2平方时得到2k平方-4k-6请问我这样的思路哪里有不对请指点

追答

在x1+x2时的那一步根据韦达定理得到-2k-1 【我没写成-(2k+1)的形式为什么就错了】
这一步本来就没有错，

把-2k-1 代入x1平方+x2平方时得到2k平方-4k-6
这里不行
一定要写出
x1²+x2²
=(x1+x2)²-2x1x2
这一步在代入。

追问

嗯最后问下我就是在(x1+x2)平方-2x1x2代入的，那么(x1+x2)平方就等于(-2k-1)平方，就这个(-2k-1)平方算出来等于4k平方-4k+1，这一步与你算的4k平方+4k+1不同。-2k-1等于-(2k+1)但为什么分别平方后就不同了呢我就是代入的-2k-1的这个整体的平方

追答

(-2k-1)平方=4k平方+4k+1
并不等于你说的4k平方-4k+1

(-2k-1)（-2k-1)

=4k^2+2k+2k+1
=4k^2+4k+1

追问

奥我明白了刚刚把a-b完全平方公式中的b错当成-1了，b应该是1。谢谢！

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Answer 3

由一元二次方程根与系数的关系，得，
x1+X2=-(2k+1),x1*x2=k²-2
整理，x1²+x2²=11，得，
(x1+x2)²-2x1*x2=11
代入，得，
(2k+1)²-2（k²-2）=11
4k²+4k+1-2k²+4=11，
2k²+4k-6=0
k²+2k-3=0，
(k+3)(k-1)=0
解得k1=-3,k2=1
当k1=-3时，方程没有实数根
所以k=1

Answer 4

因为方程有两根，所以 “的阿塔”>=0,得4k+3>=0
即k>=-3/4
由韦达定理得：X1+X2=-(2K+1),X1*X2=K^2-2;
所以：X1^2+X2^2=(X1+X2)^2-2*X1*X2=2K^2+4K+5=11
即（K-1）(K+3)=0
解得：K=1或K=-3（不合，舍）
最终答案：k=1
望采纳！

Answer 5

对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，当判别式△＝b^2-4ac≥0时，其求根公式为：x={-b±√（b^2±4ac）}/2a ；若两根为X1、X2，当△≥0时，则两根的关系为：X1+X2= -b/a，X1·X2=c/a（也称韦达定理，根与系数的这种关系又称为韦达定理；它的逆定理也是成立的，即当X1+X2= -b/a，X1·X2=c/a（也称韦达定理时，那么X1、X2则是ax^2+bx+c=0的两根。一元二次方程的根与系数的关系，综合性强，应用极为广泛，在中学数学中占有极重要的地位，也是数学学习中的重点。