关于多元函数偏导的连续和可微的关系是怎样的

Question

对于多元函数而言，一直没有理解偏导数的连续，可以推出函数的可微。函数可微却不能推出偏导的连续。。
1. 函数的连续，可以看成图像上，在某个变元的维度上其没有断点（允许有尖点)。
2. 函数的可导，可以看到图像上，在某个变元的维度上，其是连续且平滑的（不存在尖点）。所谓的函数可导，应该是指所有变元的维度上，均存在偏导，才能叫可导吧？部分变元不存在导数，也能叫可导么？
3. 偏导数的连续该如何从几何意义上理解？？ ---实际情况中，我看了不少问答。。貌似很少人把导数的连续解释清楚的，都是扯到函数的连续上来。。。 导数的连续，和导数的存在，对一元函数而言是一样的么？ 导数的存在，我的理解是，在定义域内所有点的左导数和右导数都相等，图像上就是理解为其连续且平滑，无尖点。。但是导数的连续，该怎么看？要看二阶导数？ 对于偏导，我觉得其本质应该是一样的。。对于多元函数导数的存在（或者说函数可导），应该是指所有变元的偏导数均存在，才对吧。。而偏导数的连续，该如何正确理解呢？

Answer 1

关于多元函数偏导的连续和可微的关系，见图。
其证明在一般的高数课本都有证的。
注：多元函数偏导的连续，即函数具有连续偏导。
多元函数可偏导，就是对所有自变量的一阶偏导数存在。

追问

你说的这个条件我知道。。我想知道本质。。。