如何证明AB= BA?

Question

如题所述

Answer 1

首先应明确群乘积的实际含义：AB=｛ab：a属于A，b属于B｝，其次需注意AB=BA不能推出若ab属于AB，则ab=ba（这是我犯过的错误）。接下来我们正式开始证明此题：
（1）必要性：因为AB<G，所以对任意的ab属于AB（a属于A、b属于B），在AB中存在ab的逆a1b1（a1属于A、b1属于B），即ab=（a1b1）^（-1）=b1^（-1）a1^（-1），又A<G、B<G，所以b1^（-1）属于B，a1^（-1）属于A，所以ab属于BA，从而AB属于BA
因为对任意的b^（-1）a^（-1）属于BA（b^（-1）属于B，a^（-1）属于A），有b^（-1）a^（-1）=（ab）^（-1），而ab属于AB<G，所以（ab）^（-1）属于AB，从而b^（-1）a^（-1）属于AB，即BA属于AB
所以AB=BA
（2）充分性：对任意的a1b1、a2b2属于AB（a1、a2属于A，b1、b2属于B），有a1b1（a2b2）^（-1）=a1b1b2^（-1）a2^（-1）
因为（b1b2^（-1））a2^（-1）属于BA，而AB=BA，所以存在a3b3属于AB，使得（b1b2^（-1））a2^（-1）=a3b3，从而a1b1（a2b2）^（-1）=（a1a3）b3属于AB，所以AB<G