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如何证明1+1/2+1/3+1/4.......+1/n的结果不是整数
如题所述
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推荐答案 2012-03-01
这里说的的对任意一个确定的
正整数
n,1+1/2+1/3+1/4+…+1/n不是整数,和极限没有关系(用了极限也难以证明原结论)。
不知这个推荐答案是怎么推荐上去的。
可参见本人对同一问题的解答
http://zhidao.baidu.com/question/312263826.html?oldq=1&from=evaluateTo#reply-box-798492059
假定n>1(n=1时结论不成立)
假设1+1/2+1/3+1/4+…+1/n=M为整数,现在来推出矛盾。
设P=[1, 2, …, n]为1、2、……、n的
最小公倍数
(不是取n!),用P乘以上式两边,
P*(1+1/2+1/3+1/4+…+1/n)=P*M, ………………①
设k是满足2^k≤n的最大正整数,即2^k≤n<2^(k+1)。
显然2^k|P*M (n≥2, 2^k|P)。
下面证明P*(1+1/2+1/3+1/4+…+1/n)=P/1+P/2+…+P/n不是2^k的倍数,甚至不是2的倍数。
显然P*1/i是整数(i=1, 2, … . n)。
把P分解因数,其中
质因数
2出现的次数为k(2^k≤n<2^(k+1),所以2^k|P;又因为P是最小公倍数,所以P的因数中恰好含有k个2)。故P/2^k不再含素因子2,即为奇数。
P/1、P/2、…、P/n这些数中,除P/2^k外,其余各项都是2的倍数(因为
分母
的质因数中至多含有(k-1)个2,而分子含有k个2)。故P/1+P/2+…+P/n不是2的倍数(其中只有1个奇数,其余都是偶数)。这与①式右边为偶数矛盾。
之前辅导一个小学生时,倒是遇到类似的问题:
证明1+1/2+1/3+1/4+…+1/49不是整数(可以考虑
素数
5,而不必考虑2)
参考资料:
http://zhidao.baidu.com/question/312263826.html?oldq=1&from=evaluateTo#reply-box-798492059
温馨提示:答案为网友推荐,仅供参考
当前网址:
http://88.wendadaohang.com/zd/MKVS1acV1.html
其他回答
第1个回答 2010-09-21
如果n=1就是整数。。
如果n=无穷大,你是可以证明是无穷大的。
当 n 趋向无穷大时,(1+1/2+1/3+1/4+……+1/n) 趋向无穷大,极限不存在。
因为当 x>0 时,不等式 x>ln(1+x) 恒成立(这是一个重要的不等式,可用“导数”证明),所以
1>ln(1+1)=ln2
1/2>ln(1+1/2)=ln(3/2)
1/3>ln(1+1/3)=ln(4/3)
1/4>ln(1+1/4)=ln(5/4)
……
1/(1-n)>ln[1+1/(n-1)]=ln[n/(n-1)]
1/n>ln(1+1/n)=ln[(n+1)/n],
于是
(1+1/2+1/3+1/4+……+1/n)
>ln2 + ln(3/2) + ln(4/3) + ln(5/4) +……+ ln[n/(n-1)] + ln[(n+1)/n]
= ln[2·3/2·4/3·5/4·……·n/(n-1)·(n+1)/n]
= ln(n+1),
当 n--->∞ 时,ln(n+1)--->∞,所以 (1+1/2+1/3+1/4+……+1/n)--->∞.
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证明
:
1+1
/
2+1
/
3+1
/
4
+...+1/
n不是整数
答:
证明1+1
/
2+1
/
3+1
/4+…+1/49
不是整数
(可以考虑素数5,而不必考虑2)
用数学归纳法
证明1+1
/
2+1
/
3+1
/
4
+...+1/(2n-1)≤
n
答:
左边=1=右边 假设
n
=k时 不等式成立 那么n=k+1时 左=
1+1
/2+...+1/(2k-1)+1/(2k)+1/(2k+1)=1,显然成立 所以n=k+1时式左
如何证明1+1
/
2+1
/
3+
…… +1/
n是
无理数
答:
而
1+1
/
2+1
/
3+1
/
4+1
/5+...+1/
n
(n为无限大)通分以后的分子和分母都是无穷大,不是有限整数,且不能约分,所以它不属于有理数,因此它是无理数。
如何证明
级数
1+1
/
2+1
/
3+1
/
4+
...…+1/
n
+…… 是发散的?
答:
方法1:Sn=
1+1
/
2+1
/
3+1
/
4+1
/5+1/6+1/7+1/8+1/9+……>1+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+……=1+1/2+1/2+1/2+……方法2:S=1+1/2+1/3+.>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+...+ln(1+1/n)=ln2+l
n3
/2+ln4/3+...+ln((
n+1
)/n)=l...
求
1+1
/
2+1
/
3+1
/
4
+...+1/40的和简写成m/
n
,
证明
m
不是
5的倍数。 初中数学...
答:
将1,1/2,1/3,1/4,...,1/40 通分 ,由于1~40中只有25含有2个 质因数 5,因此通分的 分母 中含有2个质因数5,则通分后的分子只有1/25的分子不含质因数5,其余各分子都至少含有一个质因数5,即都是5的倍数,所以,所有分子之和不是5的倍数,那么,m也不是5的倍数.
证明
:设
n是
大于
1的
自然数,
1+1
/
2+1
/
3+1
/
4
+…+1/
n不是整数
.
答:
证明1
/
2+1
/
3+1
/4+…+1/
n不是整数
即可。1/2+1/3+1/4+…+1/n = [3*4*...*
n+
2*4*...*n+2*3*...*n+...+2*3*...*(n-1)]/2*3*...*n 记a=[3*4*...*n+2*4*...*n+2*3*...*n+...+2*3*...*(n-1)]b=2*3*...*n 命题相当于证明a不包含有...
如何证明1+1
/
2+1
/
3+1
/
4
...+1/2^n(
2的n
次方)>=1+n/2
答:
标准答案 证明:(1)当
n
=1时,左边=3/2,右边=3/2,不等式成立 (2)假设当n=k时,不等式成立,就是
1+1
/
2+1
/
3+1
/
4
...+1/2^k>=1+k/2 那么,当n=k+1时 1+1/2+1/3+1/4...+1/2^k + 1/2^k
+1 +1
/2^k+
2 + 1
/2^k+
3 + 1
/2^k+4...+1/2^k+2^k >= 1+k...
如何证明
:
1+1
/
2+1
/
3+1
/
4+1
/5?
答:
第一步:画一个边长为1的正方形,则它的对角线长为根2 第二步:延长第一个直角三角形的直角边为4,再画一个边长为3的直角三角形,则该三角形斜边为3根2 第三步:以根2和3根2为直角边画直角三角形,另一斜边为2根5,三边长均为无理数。
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