如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点G,E为AD中点,连结BE交AC于F,连接FD,若ab＝a，bc＝2b，角bfa＝90

Question

度 下列结论 1 tan 角aeb ＝根号2 2 ef ＝六分之根六a 3 df ＝a 应该是全对的 请求证明

Answer 1

(1)证明：因为四边形ABCD是矩形
所以AB=CD
AD=BC
角BAD=角ADC=90度
AD平行BC
所以角FAE=角FCB
角FEA=角FBC
所以三角形AEF和三角形CBF相似（AA)
所以AE/BC=E/BF=AF/CF
因为E是AD的中点
所以AE=DE=1/2AD=1/2BC
因为BC=2b
所以AE=CE=b
因为角BAD=90度（已证）
所以三角形BAE是直角三角形
所以BE^2=AB^2+AE^2
tan角AEB=AB/AE
因为AB=a
所以BE=根号a^2+b^2
因为角BFA+角AFE=180度
角BFA=90度
所以角AFE=角BAD=90度
因为角AEB=角AEB
所以三角形AEF和三角形BAE相似（AA)
所以AE/EF=BE/AE
所以AE^2=EF*BE=1/3BE^2
所以b^2=1/3*(a^2+b^2)
a^2=2b^2
a/b=根号2
所以AB/AE=根号2
所以tan角AEB=根号2
（2）证明：因为BE=根号(a^2+b^2)（已解）
a^2=2b^2
所以BE=根号6倍a/2
因为EF/BF=1/2(已证）
BE=EF+BF
所以EF=1/3BE
所以EF=根号6*a/6
所以EF=6分之根号6a
(3)证明：过点F作FM垂直AD于M
所以角MFD=90度
所以三角形MFD是直角三角形
所以DF^2=MF^2+DF^2
因为角BAD=90度（已证）
所以角BAD=角MFD=90度
所以MF平行AB
所以MF/AB=ME/AE=EF/BE
因为EF/BE=1/3（已证）
AB=a AE=DE=b
所以MF=1/3a
ME=1/3b
因为DF=DE+ME=4/3b
a^2=2b^2
所以DF^2=(1/9)a^2+[(16/9)*2a^2]=a^2
所以DF=a追问

第三问应该有多种方法可以证，能再提供几种么？

Answer 2

1)AD//BC
EF/BF=AE/BC=1/2
BF=2EF
由射影定理得:AF^2=BF*EF
AF^2=2EF*EF
AF^2=2EF^2
AF=√2EF
tan ∠AEB=AF/EF=√2EF/EF=√2
tan ∠AEB=√2
2)由射影定理得: BE*BF=AB^2,
BF=2EF,BE=BF+EF=2EF+EF=3EF
3EF*2EF=AB^2,
6EF^2=AB^2
EF=工a^2/6
EF=√6a/6
3)作DH垂直于AC于H
∵BG=DG,∠BFG=∠DHG=90,∠BGF=∠DGH
∴△AFG≌△DGH(AAS)
∴BF=DH,FG=GH
∵AG=CG,AF+FG=GH+HC ,FG=GH
∴AF=HC
∵FC=2AF , FC=FH+HC,
∴2AF=FH+AF,
∴AF=FH
∵BF=DH,∠AB=∠DHF=90,AF=FH
∴RT△ABF≌RT△DHF(SAS)
∴DF=AB
∴DF=AB=a本回答被提问者和网友采纳