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设f（x）有一个原函数为ex2，则∫10f′（x2）dx=______
设f（x）有一个原函数为ex2，则∫10f′（x2）dx=______．
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设f(x)
的
原函数为ex2,
求
不定积分∫
x2f
(x)dx
.
答：
【答案】：设u(x)=x2，f"(x)dx=d[v(x)]
，则∫
x2f"(x
)dx=∫x
2d[f'(x)]=x2f'(x)-∫f'(x)d
(x2)
=x2f'(x)-
∫2xf
'(x)dx=x2f'(x)-2∫xd[f(x)]=x2f'(x)-2[xf(x)-∫f(x)dx]=x2f'(x)-2xf(x>+2∫(x)dx由于f(x)的
原函数为ex2，
因此
有∫f(x)
...
ex2
是
fx
的
一个原函数,则
x
f(x)
的导数
dx
如图2
答：
考查的是函数与
原函数
的关系及不定积分与定积分的关系，直接利用关系得到积分结果，不要代入具体解析式，否则积分很麻烦，用到分部积分法，如下
e的
x
的
二
次方的
不定积分
是多少
答：
一
个函数f
的不定积分，或
原函数
，或反导数，是一个导数等于f 的
函数
F ，即F ′ = f。不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定。其中F是f的不定积分。
...
=ex2
+aex图象上点
(1,f(1))
处切线的斜率
为e,则∫10f(x)dx=
...
答：
∵f（x）=
ex2
+aex，∴f′（x）=2ex+aex，令x=1，则2e-ae=e，∴a=-1，∴∫10f
（x）dx
=∫10（ex2-ex）dx=(13ex3?ex)|10=23e．故答案为：23e．
若
函数f(x)=
ex+mx的单调递增区间是(
1,
+∞)
,则∫10f(x)dx
等于( )A.e...
答：
∵
函数f（x）
=ex+mx的单调递增区间是（1，+∞），又∵
f′（x
）=ex+m，∴e+m=0，∴f（x）=ex-ex；∴
∫10f（x）dx=
ex-12
ex2
|10=12e-1．故选D．
设
ex2
是
f(x)
的
原函数,则
f(sinx)cos
xdx
的积分是多少
答：
很简单,因为d(e~
x2)
=
f(x)dx,
d(sinx)=cos
xdx,
所以f(sinx)cosx
dx=
f(sinx)d(sinx)=（令u=sinx）=f(u)du=d(e~u2),于是可得到原积分=e~u2+C=e~(sinx)2+C.
e^
x
^
2原函数
是是什么
答：
e^x^2的
原函数
无法表示为初等函数（早在1835年就已经被证明），如果非要求，可以先把e^(x^2)展成级数形式：e^(x²)=1+x²+(x^4)/2!+(x^6)/3!+…… 然然后逐项积分，即∫e^(x²
)dx=∫(1
+x²+(x^4)/2!+(x^6)/3!+……
)dx=x
+x³/3+(x^...
∫ex2dx
积分
答：
∫e^(X^
2)dx =(1
/2)∫e^(X^2)dX^2 令x^2=t =(1/2)∫e^tdt =(e^t)/2 =[e^(X^2)]/2
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